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分部积分法

分部积分法 (Integration by Parts) 分部积分法是微积分中最核心的积分技巧之一，由乘积的微分法则（莱布尼茨法则）直接导出。其基本公式为： 对于定积分，相应地有： 分部积分法的本质在于将难以直接处理的原积分转化为一个乘积项与另一个（希望更简单的）积分的差。在经济学、概率论和计量经济学中，该技术具有广泛且深刻的应用。 原理与推导 分部积分法源

浏览 3 更新 2026-06-27

分部积分法 (Integration by Parts)

分部积分法是微积分中最核心的积分技巧之一，由乘积的微分法则（莱布尼茨法则）直接导出。其基本公式为：

∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du

对于定积分，相应地有：

∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\int_a^b u(x) v'(x) \, dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx

分部积分法的本质在于将难以直接处理的原积分转化为一个乘积项与另一个（希望更简单的）积分的差。在经济学、概率论和计量经济学中，该技术具有广泛且深刻的应用。

原理与推导

分部积分法源于乘积函数的求导法则。设 u(x)u(x) 与 v(x)v(x) 均可微，则：

ddx(u(x)v(x))=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)\frac{d}{dx}\big(u(x) v(x)\big) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)

两边对 xx 积分并整理即得分部积分公式。在实际操作中，关键步骤在于合理选择 uu 和 dvdv。常用的优先顺序依据LIATE法则（对数函数、反三角函数、代数函数、三角函数、指数函数）：排在前面的函数通常应被选为 uu，以使其微分后的 dudu 更易处理。

经济学应用

消费者剩余与福利分析

在福利经济学中，消费者剩余被定义为需求函数曲线下的面积减去实际支付。当需求函数 D(p)D(p) 涉及乘积形式时，分部积分法可直接用于计算。例如，对于线性需求 Q=a−bPQ = a - bP，消费者剩余 CS=∫P0P1(a−bP) dPCS = \int_{P_0}^{P_1} (a - bP) \, dP，但更一般的设定下常需借助分部积分。

更重要的是，Roy恒等式和谢泼德引理之间的联系可以通过分部积分论证：设 v(p,w)v(p, w) 为间接效用函数，e(p,u)e(p, u) 为支出函数，两者的对偶关系涉及沿价格路径的积分变换，分部积分在其中提供了关键的技术桥梁。

期望与分布的积分表示

对任意非负随机变量 X≥0X \geq 0，其期望值可通过生存函数 (survival function) 的积分表示：

E[X]=∫0∞(1−F(x)) dx=∫0∞S(x) dx\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty (1 - F(x)) \, dx = \int_0^\infty S(x) \, dx

该公式的证明恰为分部积分法的直接应用。设 u=xu = x、dv=f(x)dxdv = f(x)dx，其中 f(x)=−S′(x)f(x) = -S'(x)，则有：

E[X]=∫0∞xf(x) dx=[−xS(x)]0∞+∫0∞S(x) dx=∫0∞S(x) dx\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty x f(x) \, dx = \big[-x S(x)\big]_0^\infty + \int_0^\infty S(x) \, dx = \int_0^\infty S(x) \, dx

这一表示在保险经济学、信息经济学中有着广泛应用——例如分析拍卖中的最优保留价格、计算洛伦兹曲线下的基尼系数，以及对风险分布的随机占优比较。

随机占优分析

随机占优理论中，二阶随机占优（SSD）的条件涉及对分布函数差分的累积积分：

∫−∞x(FA(t)−FB(t)) dt≤0∀x\int_{-\infty}^x \big(F_A(t) - F_B(t)\big) \, dt \leq 0 \quad \forall x

应用分部积分法可将这一条件等价地转化为对分位函数的约束，即 F−1F^{-1} 的积分比较。这一等价性为资产定价中的均值-方差分析与随机占优准则之间建立了数学对应。

动态优化与欧拉方程

在最优控制和连续时间动态规划中，汉密尔顿函数的伴随方程常涉及分部积分。例如，从最优控制问题的拉格朗日形式出发，通过对 ∫λ(t)k˙(t) dt\int \lambda(t) \dot{k}(t) \, dt 实施分部积分，可将目标泛函重新表达为汉密尔顿形式，从而导出欧拉方程和横截条件。这一技巧在拉姆齐模型、内生增长理论和搜寻匹配模型中都是标准操作。

计量经济学中的核密度估计

在非参数计量经济学中，核密度估计的偏差推导也依赖于分部积分。设 K(u)K(u) 为二阶核函数，f^(x)\hat{f}(x) 的期望偏差为：

Bias[f^(x)]≈12h2f′′(x)∫u2K(u) du\text{Bias}[\hat{f}(x)] \approx \frac{1}{2} h^2 f''(x) \int u^2 K(u) \, du

该表达式的推导涉及对卷积展开式反复运用分部积分，以将核函数的矩与目标密度函数的导数关联起来。

技巧与注意事项

分部积分法中最常见的陷阱是循环积分，即反复分部积分后回到原积分的形式。此时应主动利用等式求解。典型例子是 ∫eaxsin⁡(bx) dx\int e^{ax} \sin(bx) \, dx，两次分部积分后原积分重现，移项即可得解。另一重要技巧是表格积分法（Tabular Integration），当 uu 为多项式而 dvdv 可通过反复积分简化时，通过构建微分-积分的速算表格可高效完成计算。

斯勒茨基方程与补偿需求

在消费者理论中，斯勒茨基方程将价格变化的总效应分解为替代效应和收入效应。当分析补偿需求函数（希克斯需求）与普通需求函数（马歇尔需求）之间的关系时，涉及对恒等式 hi(p,u)=xi(p,e(p,u))h_i(p, u) = x_i(p, e(p, u)) 两边求导并在特定路径上积分。分部积分在此类推导中提供了将不可观测的希克斯需求变动与可观测的马歇尔需求联系起来的数学基础，从而使得福利变化的实证测算（如等价变换与补偿变换）成为可能。

期权定价与伊藤引理

在金融经济学中，布莱克-斯科尔斯公式的推导依赖于伊藤引理和热方程。分步求解过程中，分部积分法用于处理涉及正态密度函数的积分边界条件。具体而言，在计算风险中性测度下的期望收益时，形如 ∫K∞(ST−K)ϕ(ST) dST\int_K^\infty (S_T - K) \phi(S_T) \, dS_T 的积分在离散时间逼近中反复使用分部积分，将涉及对数正态分布的矩与标准正态累积分布函数关联起来。

与其他积分方法的比较

分部积分法常与换元积分法（变量代换）配合使用。换元积分法通过改变积分变量简化被积函数的结构，而分部积分法则通过重新分配被积函数的因子改变积分的形式。二者分别对应于微分学中链式法则与乘积法则的逆运算，构成了求解不定积分的两大支柱。在经济学建模中，选择哪种方法取决于被积函数的结构——当一个因子易于求导而另一个易于积分时，分部积分法优先；当整体结构暗示某种变量变换可消去非线性时，换元法更为便捷。

总结

综上所述，分部积分法远非单纯的微积分练习题技巧，它是连接经济学理论、概率论和计量方法的通用数学工具，深刻嵌入于从福利分析到动态优化再到非参数推断的完整分析链条中。