半平面

半平面 (Half-Plane)

半平面→欧几里得空间$\mathbb{R}^2$中直线一侧所有点构成的集合→凸集最基础实例→线性规划/凸优化/微观经济学理论基石。半平面概念推广至$\mathbb{R}^n$即半空间(Half-Space)→被超平面分割。

定义与几何直观

给定平面直线$L: ax+by=c$（$(a,b)\neq(0,0)$），$L$将$\mathbb{R}^2$分割为两个闭半平面：

不等式严格时→开半平面（不含边界直线）。几何直观：一条无限延伸的直线像一把刀→平面切成两半→每半都是半平面→直线本身是其边界。

法向量：$\mathbf{n}=(a,b)$是$L$的法向量→指向$ax+by>c$一侧→不等式$\mathbf{n}\cdot(x,y)\le c$表示"法向量方向的反侧"→线性不等式的几何等价物。

凸性与运算封闭性

半平面是凸集：任取两点$P,Q$在半平面内→连线段上任意点$\theta P+(1-\theta)Q$代入线性表达式：

→线性函数保序→线段全在半平面内→凸性得证。它是凸集/半空间在二维的特例。

交集封闭性：任意多个半平面的交集仍是凸集（凸集交封闭性推论）→半平面交必为凸多面体（可能无界）→任何多边形内部可表为有限个半平面交（半平面表示定理）。

与超平面/半空间的关系

推广至向量空间$\mathbb{R}^n$：超平面$H=\{\mathbf{x}\mid\mathbf{a}^T\mathbf{x}=b\}$→将空间分为两个半空间$\{\mathbf{x}\mid\mathbf{a}^T\mathbf{x}\le b\}$和$\{\mathbf{x}\mid\mathbf{a}^T\mathbf{x}\ge b\}$→半平面是$n=2$的特例。半空间同样是凸集→且是凸锥当$b=0$（齐次情形）→齐次半空间称齐次线性不等式的解集。

支撑超平面定理：闭凸集边界上每点存在一个超平面→凸集全在其一侧→凸集可表为所有支撑半空间的交集。

经济与优化应用

线性规划(LP)：标准形$\max\mathbf{c}^T\mathbf{x}\ \text{s.t.}\ A\mathbf{x}\le\mathbf{b},\mathbf{x}\ge0$→每个约束$a_i^T x\le b_i$定义半空间→全部约束交集=可行域→单纯形法在其极点间搜索→可行域是有限个半平面(半空间)交=凸多面体。

消费者预算集：$\mathbb{R}^2$两商品世界→预算线$p_1x_1+p_2x_2=m$→预算集$\{(x_1,x_2)\mid p_1x_1+p_2x_2\le m,x_i\ge0\}$→两个半平面与坐标非负约束的交→瓦尔拉斯预算集→凸且紧(含边界)。

分离超平面定理：两不相交凸集$A,B$→存在超平面严格分离→$\sup_{x\in A}\mathbf{a}^T x<\inf_{y\in B}\mathbf{a}^T y$→福利经济学第二定理证明核心：帕累托最优配置可由某价格向量支撑→即用超平面分离偏好上界集和生产可能性集。

对偶理论：法卡斯引理→$\{A\mathbf{x}=\mathbf{b},\mathbf{x}\ge0\}$有解⇔不存在$\mathbf{y}$使$\mathbf{y}^TA\ge0,\mathbf{y}^T\mathbf{b}<0$→几何即半空间的分离关系→LP对偶理论基石。

开闭与边界性质

闭半平面($\le,\ge$)含边界直线→闭集且凸集。开半平面($<,>$)不含边界→开集且凸→两者均可测→勒贝格测度无穷大→非紧但局部紧。边界直线是零测集。

半平面是仿射变换下的像：任一仿射映射$T(\mathbf{x})=M\mathbf{x}+\mathbf{v}$将半平面映为半平面(或半空间)→凸性保持→线性规划在变量变换下保持结构。记忆：半平面=线性不等式的几何→直线分平面→凸集核心构件→LP/经济学无处不在。