半正定

半正定 (Positive Semi-definite)

半正定（Positive Semi-definite）是线性代数中关于对称矩阵的一个重要性质，描述矩阵所定义的二次型取值的非负性。这一概念在最优化理论、计量经济学和微观经济学中具有核心地位，是判断函数凸性、协方差结构合理性和均衡稳定性的基本工具。

定义

设 $A$ 为 $n \times n$ 实对称矩阵（即 $A = A^T$）。若对所有非零向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，二次型满足：

则称 $A$ 为半正定矩阵，记为 $A \succeq 0$。若严格不等式 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$ 对所有 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 成立，则称 $A$ 为正定矩阵（Positive Definite），记为 $A \succ 0$。半正定允许二次型在某些非零方向取值为零，这是它与正定的关键区别。

等价判定条件

半正定性可通过多种等价方式判定：

1. 特征值条件：实对称矩阵 $A$ 半正定，当且仅当所有特征值非负，即 $\lambda_i \geq 0,\; \forall i = 1, \ldots, n$。正定则要求所有特征值严格为正。
2. 主子式条件：$A$ 半正定，当且仅当所有主子式（Principal Minors）非负。注意，仅检查顺序主子式（Leading Principal Minors）不足以判定半正定性——这是与正定矩阵的一个重要区别：正定性只需顺序主子式全正即可，而半正定性必须检验全部 $2^n - 1$ 个主子式。
3. Cholesky分解：$A$ 半正定，当且仅当存在矩阵 $L$（不必满秩）使得 $A = L L^T$。若 $L$ 满秩，则 $A$ 为正定。
4. 惯性指数：实对称矩阵的惯性指数中负惯性指数为零。

几何意义

半正定矩阵所定义的二次型 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 在几何上对应一个开口向上的椭抛物面（或退化的抛物柱面）。当 $A$ 正定时，等值面 $\{\mathbf{x} : \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = c\}$ 为椭球面；当 $A$ 半正定但不正定时，某些方向上二次型恒为零，等值面退化为柱面。这一几何直观是理解函数凸性和最优化二阶条件的基础。

经济学应用

最优化与凸性

在非线性规划中，目标函数 $f(\mathbf{x})$ 在点 $\mathbf{x}^*$ 的Hessian矩阵 $\nabla^2 f(\mathbf{x}^*)$ 的半正定性是判断函数凸性的核心条件：若 Hessian 在定义域内处处半正定，则 $f$ 为凸函数；局部极小值的二阶必要条件是 Hessian 在该点半正定，二阶充分条件是 Hessian 在该点正定。这一框架广泛用于效用最大化、成本最小化和利润最大化等经济优化问题。

协方差矩阵

在计量经济学与统计学中，任意随机向量 $\mathbf{X}$ 的协方差矩阵 $\Sigma = E[(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T]$ 必然是半正定的。这是因为对任意向量 $\mathbf{a}$：

协方差矩阵的半正定性保证了其可作为合法的多元分布参数，也是主成分分析中特征值分解的理论基础。若协方差矩阵正定，则不存在冗余变量（无完全多重共线性），这正是普通最小二乘法中 $X^T X$ 可逆的条件。

斯拉茨基矩阵

在消费者理论中，斯拉茨基方程将价格变动对需求的影响分解为替代效应和收入效应。斯拉茨基矩阵（Slutsky Matrix）——即补偿需求函数对价格的偏导数矩阵——在效用最大化假设下是半负定的（即其负矩阵是半正定的）。这一性质是消费者理性选择的可检验蕴含，构成了显示偏好理论中显示偏好强公理的数学表达。

生产理论

在生产经济学中，成本函数 $C(\mathbf{w}, y)$ 对投入价格 $\mathbf{w}$ 是凹的，这意味着其 Hessian 矩阵（对 $\mathbf{w}$ 的二阶导数）是半负定的。同理，利润函数 $\pi(\mathbf{p}, \mathbf{w})$ 对产出价格 $\mathbf{p}$ 是凸的，对应的 Hessian 半正定。这些性质是对偶理论的逻辑推论，也是成本函数和利润函数应满足的正则条件。

相关概念辨析

半正定与正定的区别在实践中意义重大。正定矩阵可逆且Cholesky分解唯一，而半正定矩阵可能奇异（特征值为零），导致数值计算中的不稳定性。在求解线性系统或进行蒙特卡洛模拟时，协方差矩阵的半正定性不足（出现微小负特征值）常由数值误差引起，可通过谱分解后的特征值截断或向最近半正定矩阵投影来修正。此外，矩阵平方根、Moore-Penrose伪逆等工具在处理半正定但不正定的矩阵时有重要应用。