半正定矩阵

半正定矩阵 (Positive Semi-definite Matrix)

半正定矩阵→线性代数核心概念→Hermitian矩阵（实域即对称矩阵）→推广实数"非负"至矩阵领域→二次型对任意非零向量恒非负→优化理论/统计学/控制论/机器学习基础工具。

定义

$n\times n$ Hermitian阵 $M=M^*$（$M^*$为共轭转置）半正定↔对所有非零 $z\in\mathbb{C}^n$：$z^*Mz\ge 0$。该值为实数因$(z^*Mz)^*=z^*M^*z=z^*Mz$。实域→$M=M^T$对称，对所有非零 $x\in\mathbb{R}^n$：$x^TMx\ge 0$。非对称矩阵正定性由其对称部分 $\frac12(A+A^T)$ 决定：$x^TAx=x^T\frac{A+A^T}{2}x$，故讨论限制在对称/Hermitian矩阵。

等价判定方法

特征值判据（最重要）：$M$半正定↔所有特征值$\lambda_i\ge 0$。证明核心：(⇒)取特征向量$v\neq 0$，$v^*Mv=\lambda\|v\|^2\ge0$→$\lambda\ge0$；(⇐)谱分解$M=U\Lambda U^*$（$U$酉矩阵，$\Lambda$对角特征值阵），令$y=U^*z$→$z^*Mz=\sum_{i=1}^n\lambda_i|y_i|^2\ge 0$。

Cholesky分解：$M$半正定↔存在下三角$L$使$M=LL^*$。正定矩阵时分解唯一，半正定时可不唯一→数值线性代数核心工具（解方程组、生成多元正态分布随机样本）。

主子式判据：$M$半正定↔所有主子式$\ge 0$（$2^n-1$个）。关键陷阱：正定矩阵仅需顺序主子式$>0$（Sylvester判据），但半正定仅验顺序主子式非负不充分。经典反例：$\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}$，顺序主子式$D_1=0,D_2=0$均非负，但一阶主子式$M_{22}=-1<0$→特征值$0,-1$→非半正定。此区别是考试与应用的常见错误点。

与正定矩阵的系统对比

正定(PD)↔$x^TMx>0$，特征值$>0$，可逆，椭球体，顺序主子式$>0$；半正定(PSD)↔$x^TMx\ge 0$，特征值$\ge 0$，可能奇异（零特征值即不可逆），退化椭球（柱面、平面、或两平行超平面），所有主子式$\ge 0$。几何直观：二次型$f(x)=x^TMx$定义二次曲面→PD时严格凸函数（碗形，唯一全局极小）；PSD时凸函数但碗底可为平坦区域→最小值在$M$的核(Null Space)上多点达到→优化理论中Hessian矩阵半正定是局部极小的二阶必要条件。

核心应用场景

协方差矩阵：任意随机向量$X$，标量投影$Y=a^TX$方差：$\text{Var}(Y)=a^T\text{Cov}(X)a\ge 0$恒成立→协方差矩阵必半正定。变量间无完全线性相关时正定→多元统计分析/计量经济学基础。

Gram矩阵：向量组$\{v_i\}$，$G_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle$→$G$必半正定→核方法中核矩阵须满足半正定性（Mercer条件）→保证映射至合法再生核希尔伯特空间(RKHS)→SVM/高斯过程理论基石。

图拉普拉斯矩阵：$L=D-A$（$D$度矩阵，$A$邻接矩阵）→半正定→特征值$0=\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\le\lambda_n$→$\lambda_2$（代数连通度）反映图连通性强弱→谱聚类/图分割核心。

运算性质

PSD矩阵全体构成凸锥：$A,B$ PSD→$A+B$ PSD；$c\ge 0$→$cA$ PSD。对角元非负（取$x=e_i$即$M_{ii}\ge 0$）。迹非负：$\text{Tr}(M)=\sum\lambda_i\ge 0$。合同保持：$M$ PSD→任意矩阵$A$，$A^*MA$半正定。存在唯一PSD平方根$M^{1/2}$使$M=M^{1/2}M^{1/2}$→极分解/量子信息密度矩阵基础。