定号性

定号性 (Definiteness)

定号性（Definiteness）是线性代数和凸分析中刻画实对称矩阵（或更一般地，Hermitian 矩阵）二次型符号特征的核心概念。一个 $n \times n$ 实对称矩阵 $A$ 的定号性由其二次型 $Q(x) = x^T A x$ 对所有非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 的取值符号决定，是理解函数凹凸性、最优化二阶条件以及许多经济模型结构性质的基础。

分类体系

对称矩阵按定号性分为五类：

• 正定 (Positive Definite)：对所有 $x \neq 0$，$x^T A x > 0$，记作 $A \succ 0$。等价于所有特征值 $\lambda_i > 0$。正定矩阵可逆，且所有顺序主子式为正（Sylvester 判据）。
• 负定 (Negative Definite)：对所有 $x \neq 0$，$x^T A x < 0$，记作 $A \prec 0$。等价于 $-A$ 正定，特征值全为负，顺序主子式符号交错：$(-1)^k \det(A_k) > 0$。
• 正半定 (Positive Semidefinite)：对所有 $x$，$x^T A x \geq 0$，记作 $A \succeq 0$。特征值均 $\geq 0$，允许零特征值，矩阵可能奇异。所有主子式（不仅限于顺序主子式）非负。
• 负半定 (Negative Semidefinite)：对所有 $x$，$x^T A x \leq 0$，记作 $A \preceq 0$。特征值均 $\leq 0$，奇数阶主子式 $\leq 0$，偶数阶主子式 $\geq 0$。
• 不定 (Indefinite)：存在 $x$ 和 $y$ 使得 $x^T A x > 0$ 且 $y^T A y < 0$。等价于同时具有正负特征值，鞍点处的 Hesse 矩阵通常是不定的。

特征值刻画与惯性指数

实对称矩阵的正交对角化 $A = Q \Lambda Q^T$ 将定号性分析转化为特征值符号的判别。令 $n_+$、$n_-$、$n_0$ 分别为正、负、零特征值的个数（计重数），三元组 $(n_+, n_-, n_0)$ 称为 $A$ 的惯性指数（inertia index）。Sylvester 惯性定律指出，惯性指数在合同变换 $A \mapsto P^T A P$（$P$ 可逆）下保持不变。五种定号性对应五类惯性指数：

经济学中的核心应用

最优化与二阶条件：无约束优化问题中，目标函数 $f(x)$ 的Hesse矩阵 $\nabla^2 f(x)$ 的定号性是极值点的关键判据。局部极小值的二阶必要条件为 $\nabla^2 f(x^*)$ 正半定，充分条件为正定；局部极大值对应负半定与负定。鞍点处的 Hesse 矩阵必定不定。在约束优化中，KKT条件的二阶分析涉及拉格朗日函数 Hesse 矩阵在约束切空间上的定号性。

消费者与生产者理论：支出函数对价格的 Hesse 矩阵（即 Hicks 需求对价格的替代矩阵）是负半定的，秩为 $n-1$，这是补偿需求定律的核心数学表达。成本函数对投入价格的 Hesse 矩阵同样负半定，保证条件要素需求曲线向下倾斜。凹效用函数与凸无差异曲线均可通过定号性条件刻画。

计量经济学：方差-协方差矩阵 $\Sigma$ 必须是正半定的，因为任意线性组合的方差 $\operatorname{Var}(a^T X) = a^T \Sigma a \geq 0$。当存在完全多重共线性时，$\Sigma$ 仅为半定而非正定，导致 OLS 估计量不唯一。设计矩阵的 Gram 矩阵 $X^T X$ 的正定性是 OLS 可估性的代数前提。

博弈论：支付矩阵的二阶条件中，定号性用于判断纳什均衡的稳定性。在势博弈中，势函数的凹性（Hesse 矩阵负半定）确保纯策略纳什均衡的存在性。

判定方法比较

除特征值分解（$O(n^3)$）外，常用判定方法包括：Cholesky 分解（仅适用于正定/正半定；若分解失败则矩阵非正定）、$LDL^T$ 分解（检查 $D$ 中对角元的符号）、以及针对大规模稀疏矩阵的 Lanczos 方法。数值实践中需引入容差 $\tau$（如 $10^{-12}$）处理接近零的特征值——这也正是定号性（严格不等号）与半定性（允许等号）之间的模糊地带。正则化技术（如 $A + \epsilon I$）常用于将半定矩阵扰动为正定以稳定后续计算。