期望收益 (Expected Payoff)

期望收益 (Expected Payoff)

期望收益 (Expected Payoff) 是决策理论和博弈论中最基本的数量概念，定义为在各可能结果下收益值以概率加权的平均值。对于离散结果的随机变量，设结果 $x_i$ 以概率 $p_i$ 发生（$\sum p_i = 1$），则期望收益为 $\mathbb{E}[X] = \sum_i p_i x_i$。在连续情形中，期望收益由概率密度函数 $f(x)$ 加权的积分给出：$\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx$。期望收益为不确定性下的决策提供了一致的数量比较基准——如果主体是风险中性的，则按期望收益最大化决策。

博弈论中的期望收益

在博弈论中，期望收益是分析混合策略均衡的核心工具。当参与人采用混合策略时——以特定的概率分布在纯策略之间随机化——每个策略组合的发生概率为由独立随机化假设决定的联合概率。参与人 $i$ 的策略 $\sigma_i$ 给对手策略组合 $\sigma_{-i}$ 下的期望收益为：

其中 $S$ 为策略组合空间。纳什均衡的混合策略定义——每个参与人的策略都是对他人策略的最优反应——直接建立在此期望收益结构上：$\sigma_i^* \in \arg\max u_i(\sigma_i, \sigma_{-i}^*)$。

资产定价与投资决策

在金融经济学中，期望收益是资产定价和投资组合理论的基础模块。资本资产定价模型 (CAPM) 将资产的期望超额收益分解为系统性风险溢价 $\mathbb{E}[R_i] - R_f = \beta_i (\mathbb{E}[R_m] - R_f)$，其中 $\mathbb{E}[R_m] - R_f$ 为市场的期望超额收益。套利定价理论 (APT) 推广至多因子结构。

期望效用理论将期望收益纳入更一般的框架：决策者最大化效用函数的期望值 $\mathbb{E}[U(W)]$ 而非财富本身的期望值。风险厌恶意味着 $U''(W) < 0$，使得决策者愿意牺牲一部分期望收益以换取更低的方差——即支付风险溢价。期望收益提供了"平均结果"的客观度量，而期望效用将其转化为主观价值评估。二者之间的差异——由方差、偏度、高阶矩和风险偏好共同决定——是不确定性经济学从纯粹计算向行为解释延伸的核心张力所在。