极差

极差 (Range)

极差=全距→统计最基离散程度→数据集最大值减最小值→$R=x_{(n)}-x_{(1)}$→序统框→描分布"跨度"/"宽度"→仅用两极端值→计简但信损（略全数中分形）→描述性统计核。

性质：①样量依赖→$R$随n增→正态iid下$E(R)\approx\sigma\cdot2\sqrt{2\ln n}/\sqrt{\pi}$→样多极端值概高→R自然增。②异常值敏→一远极端可极大夸大→例{10,12,13,14,15,100}→R=90→前五实仅5。③缺稳健→有偏/异时误导。

对比与应用

vs方差/标准差→利用全数→均偏→计繁信高。正态大样近似→$S\approx R/4$或$R/6$（随分布而异）。vs四分位差IQR=$Q_3-Q_1$→剔上下25\%→抗异→稳健。vs变异系数→绝对vs相对→不同场景。

应用：①质量控制→R图(R-chart)→定期小样(n=5/6)→快判过变受控（小样下比标准差高效）。②初探数据→快识异→如年龄R超合理(150)→触发验证。③金融→日极差(高减低)→衡量日内波动→风险管理→简险警。④环科→气温日较差(高减低)→气变/区候。⑤心理/教育测量→全距判鉴别力→极差过小→缺乏区分。

改进：修剪极差（去两端5\%/10\%）；标准极差（除均值/中位数）；移动极差→时序邻差绝对值$|x_t-x_{t-1}|$→监变异。

误：过依赖→应配标准差/IQR；偏/多峰分布→可能失真→优先用分位；报R必同报n→脱样讨论误判。核→入门→计简直观→快速握分布范围→因异敏感/样依赖→适初析→严析结合更稳健度量。