独立泊松变量和的分布

独立泊松变量和的分布 (Distribution of the Sum of Independent Poisson Variables)

独立泊松变量和的分布是概率论和数理统计中的一个基础且重要的结果。该理论指出：任意数量的相互独立的泊松分布随机变量之和，仍然服从泊松分布；新分布的参数（即事件的平均发生率）等于原各泊松分布参数之和。这一性质使泊松分布在建模中极具灵活性和实用性。

定理的正式表述

设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 为 $n$ 个相互独立的随机变量，且 $X_i \sim \operatorname{Pois}(\lambda_i)$ ，其概率质量函数为：

P(X_i = k) = \frac{e^{-\lambda_i} \lambda_i^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots

定义 $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ ，则：

Y \sim \operatorname{Pois}\!\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)

证明：矩生成函数法

这是最常用且最优雅的证明。泊松分布 $\operatorname{Pois}(\lambda)$ 的矩生成函数 (MGF) 为：

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{\lambda(e^t - 1)}

由独立性， $Y$ 的 MGF 为各 MGF 之积：

M_Y(t) = \prod_{i=1}^n M_{X_i}(t) = \prod_{i=1}^n e^{\lambda_i(e^t - 1)} = e^{(\sum_{i=1}^n \lambda_i)(e^t - 1)}

令 $\lambda = \sum_{i=1}^n \lambda_i$ ，则 $M_Y(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}$ ，这正是 $\operatorname{Pois}(\lambda)$ 的 MGF。由 MGF 唯一性定理， $Y \sim \operatorname{Pois}(\lambda)$ 。

证明：概率质量函数的卷积

以两个独立变量 $X_1 \sim \operatorname{Pois}(\lambda_1)$ 和 $X_2 \sim \operatorname{Pois}(\lambda_2)$ 为例（可推广至 $n$ 个）。由全概率公式和独立性 (概率论)：

P(Y=k) = \sum_{j=0}^{k} P(X_1=j)\,P(X_2=k-j) = \sum_{j=0}^{k} \frac{e^{-\lambda_1}\lambda_1^j}{j!} \cdot \frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{k-j}}{(k-j)!}

提取常数并乘以 $k!/k!$ ，利用二项式定理：

P(Y=k) = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!} \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} \lambda_1^j \lambda_2^{k-j} = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!} (\lambda_1+\lambda_2)^k

这正是 $\operatorname{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)$ 的 PMF。数学归纳法可推广至任意 $n$ 。

直观理解与应用

泊松分布描述固定时间/空间内随机事件的发生次数， $\lambda$ 为平均发生率。该定理的直观含义：将多个独立的泊松事件流合并后，总事件流仍服从泊松分布，总发生率为各发生率之和。

应用示例：

客户服务中心：系统 A 平均每小时 10 通来电，系统 B 平均 15 通。总来电数服从 $\operatorname{Pois}(25)$ 。
交通流量：道路 1 每分钟 5 辆车，道路 2 每分钟 8 辆车，汇入环岛的总车流量服从 $\operatorname{Pois}(13)$ 。
放射性衰变：两样品分别以 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的平均速率衰变，探测器总计数服从 $\operatorname{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)$ 。

独立泊松变量和的分布