琴生不等式

琴生不等式 (Jensen's Inequality)

琴生不等式→概率论/统计/凸分析核心→丹麦J.Jensen 1906→描凸函数在期望运算下保持不等关系。凸函数：$E[\phi(X)]\ge\phi(E[X])$；凹函数反向：$E[\phi(X)]\le\phi(E[X])$。离散→$\phi(\sum p_ix_i)\le\sum p_i\phi(x_i)$；连续→$\phi(\int xfdx)\le\int\phi(x)fdx$。

凸/凹判定：$\phi''(x)\ge0$凸→$x^2,e^x,-\ln x$；$\phi''(x)\le0$凹→$\ln x,\sqrt{x}$→微观效用函数/生产函数常凹→边效用递减+规模报酬递减。

直觉：凸函数→"均值处函数值≤函数值的均值"→向弯抛物线；凹函数→反向→均值处函数值≥函数值均值→风险厌恶核心特征。

支撑线证：凸函数$\phi$在$E[X]$存在切线$L(x)=a+bx$→对所有x有$\phi(x)\ge L(x)$→取期望→$E[\phi(X)]\ge E[L(X)]=L(E[X])=\phi(E[X])$。

经济金融应用

风险厌恶：凹效用→$E[u(\tilde{W})]\le u(E[\tilde{W}])$→不确定财富期望效用<确定等额效用→愿付风险溢价→保险经济理论基。

投资组合：资产分散化→效用凹性→组合期望效用>单资产均→数学基"不把全部鸡蛋放同篮"。

期权定价：期权价是标的价凸函数→凸性通过琴生不等式→Black-Scholes→金融衍生品凸性调整直接源于此。

信息价值：贝叶斯决策中→获信息永不降期望效用→后验期望损失≤先验→信息经济学理论支撑。

宏观消费：凹效用→不确定收入期望效用<确定→解预防性储蓄→生命周期假说/凯恩斯消费函数补充。

例：正1元反3元→$E[X]=2$。凸$\phi=x^2$：$\phi(2)=4<0.5\times1+0.5\times9=5$→验证；凹$\phi=\ln x$：$\ln2\approx0.693>0+0.549=0.549$→验证。

推广与注意

条件期望→$\phi(E[X|\mathcal{G}])\le E[\phi(X)|\mathcal{G}]$；詹森差距=$E[\phi(X)]-\phi(E[X])$→量凸程度；Karamata→优控理论推广；Hölder/闵可夫斯基→可导自琴生；对数矩生函→Chernoff界。注意：判凸凹方向（二导判）；$E[X]$+$E[\phi(X)]$须存有限；严格凸非常数→严格不等式；权须合法概率分布；可广至随机向量→GMM。