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相对风险厌恶程度

相对风险厌恶程度 (Coefficient of Relative Risk Aversion, CRRA)

相对风险厌恶程度，又称相对风险厌恶系数（Coefficient of Relative Risk Aversion, CRRA），是 期望效用理论 中衡量决策者面对按财富比例缩放的风险时所表现出的厌恶程度的指标。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 独立提出，是 风险厌恶 理论的两大核心测度之一，另一为 绝对风险厌恶程度 (ARA)。

定义与数学表达

设效用函数 u(w)u(w) 为财富 ww 的函数，满足 u′(w)>0u'(w) > 0（边际效用为正）且 u′′(w)<0u''(w) < 0（边际效用递减，即风险厌恶），则相对风险厌恶系数定义为：

R(w)=−w⋅u′′(w)u′(w)R(w) = - \frac{w \cdot u''(w)}{u'(w)}

这一表达式衡量的是效用函数的曲率经财富规模标准化后的结果。相较于绝对风险厌恶系数 A(w)=−u′′(w)/u′(w)A(w) = -u''(w)/u'(w)，相对风险厌恶无单位（量纲为1），因此在不同财富水平的个体间具有可比性。两者满足简单关系：

R(w)=w⋅A(w)R(w) = w \cdot A(w)

Arrow–Pratt 近似与行为解释

考虑一个初始财富为 ww 的个体，面对一个公平赌局：以概率 12\frac{1}{2} 获得或损失财富的 k%k\%。其愿意为避免此赌局而放弃的财富比例（即相对风险溢价 πR\pi_R）近似为：

πR≈12R(w)⋅k2\pi_R \approx \frac{1}{2} R(w) \cdot k^2

R(w)R(w) 越大，个体为消除给定比例的财富波动而愿意放弃的财富比例越大。类似地，个体最优投资于风险资产的财富比例 α∗\alpha^* 满足：

α∗≈μ−rfσ2⋅1R(w)\alpha^* \approx \frac{\mu - r_f}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{R(w)}

其中 μ\mu 为风险资产预期收益率，rfr_f 为无风险利率，σ2\sigma^2 为收益率方差。这表明，相对风险厌恶系数直接决定了最优风险敞口的比例。

CRRA 效用函数与不变性

在实际应用中，最广泛使用的是常数相对风险厌恶（CRRA）效用函数，又称等弹性效用函数（Isoelastic Utility）：

u(w)={w1−γ−11−γ,γ≠1ln⁡(w),γ=1u(w) = \begin{cases} \dfrac{w^{1-\gamma} - 1}{1 - \gamma}, & \gamma \neq 1 \\ \ln(w), & \gamma = 1 \end{cases}

其中 γ=R(w)\gamma = R(w) 为常数，不随财富水平变化。该函数具有重要性质：

  • 规模不变性：若所有家庭财富同时翻倍，每个家庭对风险资产的投资比例不变。这一性质使得模型在经济增长的背景下仍然稳健。
  • 消费与投资决策分离：CRRA 效用下，个体的资产配置比例与财富水平无关，极大简化了 资产定价 和 宏观经济学 模型的求解。
  • 极限情形：γ→1\gamma \to 1 时退化为对数效用 u(w)=ln⁡(w)u(w) = \ln(w)，γ→0\gamma \to 0 时退化为风险中性（线性效用）。

典型校准与经验估计

在宏观金融文献中，CRRA 系数 γ\gamma 的取值一直存在核心争议：

  • 微观估计（1–5）：基于家庭调查、保险购买行为和彩票选择的实证研究通常将 γ\gamma 估计在 1 到 5 之间。Mehra 和 Prescott (1985) 认为合理范围为 0<γ≤100 < \gamma \leq 10。
  • 股权溢价之谜：若 γ\gamma 在合理范围内（如 2–5），标准 消费CAPM 无法解释美国历史上约 6\% 的股权溢价，除非 CRRA 高达 30–50。这一巨大缺口构成本质的 股权溢价之谜 (Equity Premium Puzzle)。
  • 递归偏好：为打破 CRRA 效用中风险厌恶与跨期替代弹性的强制关联（IES = 1/γ1/\gamma），Epstein–Zin 和 Weil 引入递归效用函数，分离 γ\gamma 与 跨期替代弹性 (EIS)。
  • 习惯形成：Campbell 和 Cochrane 的 习惯形成模型 中，风险厌恶随消费向习惯水平的趋近而急剧攀升（时变 CRRA），成功以合理参数匹配股权溢价。

相对风险厌恶 vs. 绝对风险厌恶

区别两者对于理解不同情境下的风险行为至关重要：

情境相关测度直觉绝对赌局（$固定金额）A(w)=−u′′(w)u′(w)越富有的人越不介意固定金额的亏损比例赌局（财富的%）R(w)=w⋅A(w)比例态度取决于效用曲率递减 ARA (DARA)A′(w)<0财富越高，绝对风险厌恶越低递增 RRA (IRRA)R′(w)>0财富越高，对比例风险越敏感\begin{array}{c|c|c} \text{情境} & \text{相关测度} & \text{直觉} \\ \hline \text{绝对赌局（\$固定金额）} & A(w) = -\dfrac{u''(w)}{u'(w)} & \text{越富有的人越不介意固定金额的亏损} \\ \text{比例赌局（财富的\%）} & R(w) = w \cdot A(w) & \text{比例态度取决于效用曲率} \\ \text{递减 ARA (DARA)} & A'(w) < 0 & \text{财富越高，绝对风险厌恶越低} \\ \text{递增 RRA (IRRA)} & R'(w) > 0 & \text{财富越高，对比例风险越敏感} \\ \end{array}

大量实证支持 DARA（越富越敢承担绝对风险），但对 RRA 的斜率（CRRA vs. IRRA vs. DRRA）尚无定论。CRRA（常数）是最常用的基准假设。

应用领域

  1. 资产定价：随机贴现因子 (SDF) 在 CRRA 效用下为 mt+1=β(ct+1/ct)−γm_{t+1} = \beta (c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}，这是消费 CAPM 和 无套利定价 的基石。
  2. 最优投资组合：Merton (1969) 的连续时间模型证明，CRRA 投资者在风险资产与无风险资产间的分配比例恒为定值，由 (μ−rf)/(γσ2)(\mu - r_f)/(\gamma \sigma^2) 给出。
  3. 保险需求：CRRA 个体对完全保险的需求随风险规避程度上升。最优免赔额在 DARA 假设下随财富增加而下降——更富有的人购买更全面的保险。
  4. 宏观与财政政策：在 生命周期/持久收入假说 (LC-PIH) 中，γ\gamma 决定消费对预期收入冲击的反应幅度；在 最优税收 文献中，社会 CRRA 决定了累进税率的合意程度。
  5. 行为经济学：前景理论 (Prospect Theory) 用损失厌恶和概率加权替代 CRRA 描述现实中的风险选择，但标准模型仍以 CRRA 为基准。

扩展与前沿

相对风险厌恶程度是连接微观风险偏好与宏观资产定价、财政政策的核心枢纽。尽管 CRRA 假设因其简洁性而主导模型构建，但时变风险厌恶、异质性和模糊厌恶等前沿方向不断丰富着对风险行为的理解。

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