秩

秩 (Rank)

秩是线性代数中描述矩阵或线性变换的核心概念。一个矩阵的秩衡量其行（或列）向量所张成空间的维度，即矩阵中"独立信息"的数量。秩在求解线性方程组、判断矩阵可逆性及理解线性变换的几何性质中起关键作用。

定义

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵：

1. 列秩：$A$ 的列空间中线性无关向量的最大数目。
2. 行秩：$A$ 的行空间中线性无关向量的最大数目。
3. 核心定理：任意矩阵的行秩恒等于列秩，此共同值即矩阵的秩，记作 $\operatorname{rank}(A)$。
4. 计算定义：将 $A$ 经初等行变换化为行阶梯形矩阵，非零行数即为秩。
5. 子式定义：非零子式的最大阶数。即存在 $r \times r$ 子矩阵行列式非零，而所有 $(r+1) \times (r+1)$ 子式均为零，则秩为 $r$。

计算：高斯消元法

利用高斯消元法将矩阵化为行阶梯形，非零行数即为秩。

示例：

1 \& 2 \& 1 \& 3 \\ 2 \& 4 \& 3 \& 7 \\ 3 \& 6 \& 6 \& 12

行变换 $R_2 \to R_2 - 2R_1$, $R_3 \to R_3 - 3R_1$：

$R_3 \to R_3 - 3R_2$ 得行阶梯形：

有两个非零行，故 $\operatorname{rank}(A) = 2$。

重要性质

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵：

• 范围：$0 \le \operatorname{rank}(A) \le \min(m, n)$。
• 零矩阵：$\operatorname{rank}(A) = 0$ 当且仅当 $A$ 为零矩阵。
• 满秩：若 $\operatorname{rank}(A) = \min(m, n)$，则 $A$ 满秩。$n \times n$ 方阵可逆矩阵当且仅当 $\operatorname{rank}(A) = n$；否则为奇异矩阵。
• 转置：$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)$。
• 乘积（西尔维斯特不等式）：对 $A\ (m \times n)$ 和 $B\ (n \times p)$， \[ \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \le \operatorname{rank}(AB) \le \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)) \]

秩与线性方程组

对于 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，令 $[A|\mathbf{b}]$ 为增广矩阵。由罗奇-卡佩利定理：

1. 解存在：$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])$。
2. 唯一性：有解时，若 $\operatorname{rank}(A) = n$（列满秩），则解唯一；若 $\operatorname{rank}(A) < n$，有无穷多解，自由变量数 $n - r$。

几何：秩-零度定理

将 $A$ 视为线性变换 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$：

• 列空间 $\operatorname{Im}(A)$：所有输出构成的子空间，其维度即秩。
• 零空间 $N(A) = \{\mathbf{x} \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$：映射到零的向量集，其维度为零度。

秩-零度定理：

即输入空间维度 = 像空间维度 + 零空间维度。

经济学应用

• 多重共线性：回归分析中若设计矩阵 $X$ 非列满秩，则 $(X'X)$ 不可逆，普通最小二乘法估计量无法计算。
• 识别：计量经济学联立方程模型中，秩条件是结构参数可识别的关键。
• 主成分分析：数据矩阵的秩决定其有效维度，低秩近似是降维的核心思想。