逆矩阵

逆矩阵 (Inverse Matrix)

逆矩阵是线性代数的核心概念：对方块矩阵 $A$，若存在 $A^{-1}$ 满足 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$（$I$ 为单位矩阵），则 $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆。逆矩阵类比数的倒数：$5\times5^{-1}=1$ 对应 $AA^{-1}=I$。

存在条件

两条件缺一不可：必须是方块矩阵（$n\times n$），非方块矩阵无逆；必须非奇异，即行列式 $\det(A)\neq0$。若 $\det(A)=0$，矩阵为奇异矩阵，不可逆。非奇异矩阵的逆存在且唯一。

计算方法

伴随矩阵法（适合小矩阵）：$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$。其中 $\operatorname{adj}(A)$ 是伴随矩阵，即代数余子式矩阵的转置矩阵。对 $2\times2$ 矩阵 A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}，有：

例：$A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}$，$\det=10$，$A^{-1}=\begin{pmatrix}0.6&-0.7\\-0.2&0.4\end{pmatrix}$。

高斯消元法（通用，适合计算机）：构造增广矩阵 $[A|I]$，通过初等行变换将左侧变为 $I$，右侧即得 $A^{-1}$，最终得 $[I|A^{-1}]$。若左侧出现全零行，则 $A$ 不可逆。

关键性质

设 $A,B$ 可逆，$k\neq0$：

• 唯一性：逆矩阵唯一。
• 逆的逆：$(A^{-1})^{-1}=A$。
• 乘积的逆：$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$（注意顺序，"鞋袜原则"）。
• 转置的逆：$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$，转置与求逆可交换。
• 标量乘：$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$。
• 行列式：$\det(A^{-1})=1/\det(A)$。

应用

线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：若 $A$ 可逆，解为 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$。线性变换：逆矩阵代表逆变换（如旋转的逆→反向旋转）。统计学与计量经济学：OLS中 $\hat{\beta}=(X^TX)^{-1}X^Ty$，$(X^TX)^{-1}$ 为核心逆矩阵；参数方差-协方差矩阵亦依赖逆矩阵。几何意义：二维中 $A^{-1}$ 将 $A$ 变换后的向量复原——若 $A$ 将单位正方形拉伸旋转，$A^{-1}$ 则将其反向映射回原正方形。数值稳定性：实际计算常避免直接求逆（计算量大且数值不稳定），改用求解线性方程组（LU分解/QR分解等）替代 $A^{-1}\mathbf{b}$。