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间接最小二乘法

间接最小二乘法 (Indirect Least Squares, ILS) 间接最小二乘法是计量经济学中估计联立方程模型结构参数的一种经典方法。当经济变量之间存在双向因果关系时，普通最小二乘法（OLS）因内生性问题而产生联立性偏误，估计结果不再一致。ILS 的策略是"绕道而行"：先对模型的简化式方程施加 OLS 得到一致估计，再通过参数关系的代数反解，间接恢

浏览 0 更新 2025-12-19

间接最小二乘法 (Indirect Least Squares, ILS)

间接最小二乘法是计量经济学中估计联立方程模型结构参数的一种经典方法。当经济变量之间存在双向因果关系时，普通最小二乘法（OLS）因内生性问题而产生联立性偏误，估计结果不再一致。ILS 的策略是"绕道而行"：先对模型的简化式方程施加 OLS 得到一致估计，再通过参数关系的代数反解，间接恢复出结构参数的估计值。

问题背景：联立性偏误与OLS的失效

在单方程回归中，OLS 要求解释变量与扰动项不相关（E(Xiui)=0 E(X_i u_i) = 0 ）。然而在联立方程系统中，这一条件往往被系统性破坏。以最简单的凯恩斯收入决定模型为例：

\begin{align} \[ C_t &= \alpha + \beta Y_t + u_t \label{eq:cons} \\ \] \[ Y_t &= C_t + I_t \label{eq:ident} \] \end{align}

其中 Ct C_t 为消费，Yt Y_t 为国民收入，It I_t 为外生投资。恒等式 (\ref{eq:ident}) 使得 Yt Y_t 自身包含 ut u_t 的成分：Yt=α+βYt+It+ut Y_t = \alpha + \beta Y_t + I_t + u_t ，解得 Yt=α+It1−β+ut1−β Y_t = \frac{\alpha + I_t}{1 - \beta} + \frac{u_t}{1 - \beta} 。显然 Cov⁡(Yt,ut)≠0 \operatorname{Cov}(Y_t, u_t) \neq 0 ，直接对 (\ref{eq:cons}) 施加 OLS 将得到有偏且不一致的 β^ \hat\beta 。这一困境正是 ILS 所要解决的核心问题。

结构式与简化式

理解 ILS 需先区分两类方程形式。结构式 (Structural Form) 直接刻画经济理论所设定的行为关系，方程中既包含内生变量也包含外生变量，且内生变量可出现在方程右侧——这正是联立性偏误的根源。简化式 (Reduced Form) 则将每个内生变量表示为所有外生变量和扰动项的显函数，方程右侧仅含外生变量，因此 OLS 可得到一致估计。

记结构式系统为矩阵形式 Byt+Γxt=ut B \mathbf{y}_t + \Gamma \mathbf{x}_t = \mathbf{u}_t ，其中 yt \mathbf{y}_t 为内生变量向量，xt \mathbf{x}_t 为前定变量（含外生变量与滞后内生变量）向量，ut \mathbf{u}_t 为结构扰动项，B B 与 Γ \Gamma 为参数矩阵。若 B B 可逆，简化式为：

\begin{equation} \(\mathbf{y}_t\) = -B^{-1}\Gamma \(\mathbf{x}_t\) + B^{-1}\(\mathbf{u}_t\) \equiv \Pi \(\mathbf{x}_t\) + \(\mathbf{v}_t\) \label{eq:reduced} \end{equation}

矩阵 Π=−B−1Γ \Pi = -B^{-1}\Gamma 称为简化式参数，它将结构参数 B B 和 Γ \Gamma 以非线性的方式复合于其中。ILS 的核心逻辑是：先用 OLS 一致地估计 Π \Pi ，再求解 B B 和 Γ \Gamma 。

ILS估计的两步程序

第一步：估计简化式。对系统中每个内生变量的简化式方程分别施加 OLS。以经典的供需模型为例：

\begin{align} \(\text{需求方程: }\) \(Q_t\) \&= \(\alpha_1\) \(P_t\) + \(\beta_1\) \(X_t\) + \(u_{1t}\) \label{eq:demand} \\ \(\text{供给方程: }\) \(Q_t\) \&= \(\alpha_2\) \(P_t\) + \(\beta_2\) \(Z_t\) + \(u_{2t}\) \label{eq:supply} \end{align}

其中 Qt Q_t 和 Pt P_t 为内生变量（数量与价格），Xt X_t 和 Zt Z_t 为外生变量（收入与成本冲击）。简化式为：

\begin{align} \[ P_t &= \pi_{11} X_t + \pi_{12} Z_t + v_{1t} \label{eq:rf1} \\ \] \[ Q_t &= \pi_{21} X_t + \pi_{22} Z_t + v_{2t} \label{eq:rf2} \] \end{align}

对式 (\ref{eq:rf1}) 和 (\ref{eq:rf2}) 分别施以 OLS，得到 π^11,π^12,π^21,π^22 \hat\pi_{11}, \hat\pi_{12}, \hat\pi_{21}, \hat\pi_{22} 。这些估计在标准正则条件下是一致的。

第二步：从简化式参数反解结构参数。比较结构式与简化式，可建立参数间的映射关系。将式 (\ref{eq:demand}) 和 (\ref{eq:supply}) 代入求解，可得：

\begin{align} \(\pi_{11}\) \&= \(\frac{\beta_1}{\alpha_1 - \alpha_2}\), \quad \(\pi_{12}\) = \(\frac{-\beta_2}{\alpha_1 - \alpha_2}\) \\ \(\pi_{21}\) \&= \(\frac{\alpha_1\beta_1}{\alpha_1 - \alpha_2}\), \quad \(\pi_{22}\) = \(\frac{-\alpha_2\beta_2}{\alpha_1 - \alpha_2}\) \end{align}

反过来，结构参数可唯一表示为简化式参数的函数：

\begin{equation} \(\alpha_1\) = \(\frac\){\(\pi_{21}\)}{\(\pi_{11}\)}, \quad \(\alpha_2\) = \(\frac\){\(\pi_{22}\)}{\(\pi_{12}\)}, \quad \(\beta_1\) = \(\pi_{11}\)(\(\alpha_1\) - \(\alpha_2\)), \quad \(\beta_2\) = -\(\pi_{12}\)(\(\alpha_1\) - \(\alpha_2\)) \end{equation}

将 π^ij \hat\pi_{ij} 代入上述关系，即得 ILS 估计量 α^1,α^2,β^1,β^2 \hat\alpha_1, \hat\alpha_2, \hat\beta_1, \hat\beta_2 。由于 π^ij \hat\pi_{ij} 是一致的，在映射函数连续的条件下，ILS 估计量 虽在小样本中通常有偏，但在大样本下是一致的。

恰好识别：ILS的适用条件

ILS 的使用受制于一个关键前提：目标方程必须是恰好识别 (Exactly Identified) 的。联立方程模型的识别问题由阶条件与秩条件共同判定。若一个方程过度识别 (Over-identified)，简化式参数 Π \Pi 提供的约束超过了恢复结构参数所需的数量，ILS 将面临多重解的不确定性——不同的简化式参数组合会导出矛盾的结构参数估计。若方程识别不足 (Under-identified)，Π \Pi 所含信息不足以唯一确定结构参数，估计根本不可行。

在恰好识别的情况下，从 Π \Pi 到 (B,Γ) (B, \Gamma) 的映射是一一对应的，ILS 提供唯一且一致的估计量。对于过度识别的方程，二阶段最小二乘法 (2SLS) 成为更通用的替代方案——它无需依赖简化式参数的反解，而是直接利用工具变量处理内生性问题，对恰好识别与过度识别的情形均适用。因此在实际应用中，ILS 的地位已被 2SLS 和广义矩估计 (GMM) 等更一般化的方法所大幅取代。然而，ILS 在概念上清晰地揭示了识别条件与参数可估性之间的内在联系，是理解联立方程估计理论的认知基石。

ILS的性质与局限性

ILS 估计量具备若干优良的大样本性质。在恰好识别且简化式扰动满足经典假设的前提下，ILS 估计量是一致估计量且具有渐近正态性。其渐近方差可通过Delta方法从简化式参数 Π^ \hat\Pi 的渐近分布导出，因为结构参数是简化式参数的可微函数。

但 ILS 也有显著的局限。第一，适用范围极窄：仅对恰好识别的方程有效，而实际经济模型中的方程多表现为过度识别。第二，小样本偏差：即便简化式的 OLS 估计是无偏的，参数关系映射的非线性性使得 ILS 在小样本中一般有偏，且不存在有限样本下的无偏估计量。第三，对模型设定的敏感性：若简化式设定有误（例如遗漏了相关外生变量），ILS 的结构参数估计将同时失效，缺乏 2SLS 那样的局部稳健性。第四，非线性的计算负担：在中等规模以上的联立系统中，从 Π \Pi 反解 B B 和 Γ \Gamma 涉及非线性方程组求解，计算过程繁琐且可能面临多解或无解的数值问题。

从思想史角度看，ILS 的提出早于 2SLS，由丁伯根 (Tinbergen) 等早期计量经济学家在二十世纪三十年代至四十年代间逐步发展成型。尽管 ILS 不再是应用计量分析的首选工具，它依然是计量经济学教学体系中连接联立性偏误、识别问题与工具变量方法的关键概念桥梁。只有在透彻理解 ILS 的逻辑构造之后，2SLS 为何能处理过度识别、GMM 如何在更弱的假设下获得一致估计等问题，才能得到真正深入的理解。