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阿罗-普拉特风险厌恶系数

阿罗-普拉特风险厌恶系数 阿罗-普拉特风险厌恶系数（Arrow-Pratt Measure of Risk Aversion）是由肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow, 1965）和约翰·普拉特（John Pratt, 1964）独立提出的一套度量决策者风险厌恶程度的指标体系。它基于期望效用理论，利用冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数（von Neumann-

浏览 0 更新 2025-12-20

阿罗-普拉特风险厌恶系数

阿罗-普拉特风险厌恶系数（Arrow-Pratt Measure of Risk Aversion）是由肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow, 1965）和约翰·普拉特（John Pratt, 1964）独立提出的一套度量决策者风险厌恶程度的指标体系。它基于期望效用理论，利用冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数（von Neumann-Morgenstern utility function）的曲率，将风险厌恶这一心理-经济概念转化为可量化、可比较的数学指标，是不确定性经济学和金融经济学的基石概念。

直观上，阿罗-普拉特系数刻画了个体在面对精算公平的小风险赌局时，愿意放弃多少财富以换取确定性。系数越大，个体的风险厌恶程度越高，要求的风险溢价（risk premium）也越高。

绝对风险厌恶系数

绝对风险厌恶系数（Coefficient of Absolute Risk Aversion, ARA）由 Pratt (1964) 提出。设效用函数 u(w)u(w) 关于财富 ww 二阶连续可微，且 u′(w)>0u'(w) > 0（单调递增），则 ARA 定义为：

A(w)=−u′′(w)u′(w)A(w) = -\frac{u''(w)}{u'(w)}

分子 u′′(w)u''(w) 为效用函数的二阶导数，反映边际效用递减的速率；分母 u′(w)u'(w) 为一阶导数，用于消除效用的仿射变换（正线性变换）所带来的量纲影响——事实上，ARA 是唯一在仿射变换 au(w)+ba u(w) + b（a>0a > 0）下不变的风险厌恶度量。这一不变性是 ARA 能够成为风险厌恶度量标准的关键数学性质。

ARA 的经济解释：考察一个精算公平的小赌局——以各 1/21/2 概率获得或损失 ε\varepsilon 单位财富。个体为消除此风险的风险溢价 π\pi 满足近似关系：

π≈12σε2⋅A(w)\pi \approx \frac{1}{2} \sigma_{\varepsilon}^{2} \cdot A(w)

即风险溢价与赌局方差及 ARA 成正比。ARA 越大，个体愿意为规避风险支付的溢价越高。

根据 A(w)A(w) 随财富的变化趋势，可以分类为：

  • 递减绝对风险厌恶 (DARA)：A′(w)<0A'(w) < 0——随财富增加，个体对给定绝对风险越来越不敏感。这是经验上最常见的情形，也被大多数经济模型采用。
  • 常数绝对风险厌恶 (CARA)：A′(w)=0A'(w) = 0——无论财富水平如何，个体对给定规模的风险态度不变。
  • 递增绝对风险厌恶 (IARA)：A′(w)>0A'(w) > 0——越富越厌恶风险。经验上少见，通常被视为非理性。

相对风险厌恶系数

相对风险厌恶系数（Coefficient of Relative Risk Aversion, RRA）关注的是与财富成比例的风险（如以财富百分比表示的赌局），定义为：

R(w)=−w⋅u′′(w)u′(w)=w⋅A(w)R(w) = -\frac{w \cdot u''(w)}{u'(w)} = w \cdot A(w)

RRA 与 ARA 的关系直接明了：RRA 是 ARA 的财富弹性。RRA 刻画的是个体对于按比例缩放的风险的厌恶——当赌局大小与财富成比例时（如「以一定概率获得或损失财富的固定比例」），RRA 决定了对这类风险的溢价比例。

类似地，根据 R(w)R(w) 的变化趋势：

  • 递减相对风险厌恶 (DRRA)：R′(w)<0R'(w) < 0
  • 常数相对风险厌恶 (CRRA)：R′(w)=0R'(w) = 0
  • 递增相对风险厌恶 (IRRA)：R′(w)>0R'(w) > 0

实证研究（Friend \& Blume, 1975；等）发现 RRA 大致在 1-5 之间，且倾向于常数或小幅递增，支持 CRRA 假设。

经典效用函数族

阿罗-普拉特框架下，两个最重要的效用函数族是：

CARA 效用（指数效用）：

u(w)=−e−αw,α>0u(w) = -e^{-\alpha w}, \quad \alpha > 0

此时 A(w)=αA(w) = \alpha（常数），R(w)=αwR(w) = \alpha w（递增）。该族的便利性在于绝对风险厌恶恒定，简化了对绝对赌局的分析，常用于拍卖理论和契约理论。

CRRA 效用（等弹性效用，ISO-elastic）：

u(w)={w1−γ−11−γ,γ>0,γ≠1ln⁡w,γ=1u(w) = \begin{cases} \frac{w^{1-\gamma} - 1}{1-\gamma}, & \gamma > 0, \gamma \neq 1 \\ \ln w, & \gamma = 1 \end{cases}

此时 A(w)=γ/wA(w) = \gamma/w（递减），R(w)=γR(w) = \gamma（常数）。CRRA 效用是经济增长、资产定价和消费-CAPM中最为常用的函数形式，因其满足平衡增长路径（balanced growth path）上的偏好稳定性要求。

高阶风险态度

阿罗-普拉特框架可向高阶扩展。Kimball (1990) 引入谨慎系数（Prudence）：

P(w)=−u′′′(w)u′′(w)P(w) = -\frac{u'''(w)}{u''(w)}

度量对下侧风险的非对称反应——即预防性储蓄动机。Menezes, Geiss \& Tressler (1980) 和 Eeckhoudt \& Schlesinger (2006) 将这一体系系统扩展至任意阶风险态度（temperance, edginess 等），建立了完整的「高阶风险态度」谱系。

在经济学与金融学中的应用

阿罗-普拉特框架的应用涵盖微观层面至宏观层面：

  1. 保险需求：最优保险覆盖比例与 ARA 直接相关。在 DARA 假设下，随财富增长个体对固定规模风险的厌恶程度下降，这意味着富人购买保险的绝对金额可能更高但相对财富占比更低，与经验观察高度一致。这也为保险市场的需求分析提供了理论基准。
  2. 投资组合选择：Merton (1969) 在连续时间模型下证明，最优风险资产配置比例为 μ/(γσ2)\mu/(\gamma \sigma^2)，其中 RRA 参数 γ\gamma 是关键决定因素。
  3. 资产定价：在基于消费的资本资产定价模型（CCAPM）中，股权溢价之谜（Mehra \& Prescott, 1985）意味着为解释历史股权溢价，需要 RRA 远高于实证合理水平（约 30-50 vs 1-5），这直接指向了对 CRRA 框架的重新审视——催生了习惯形成、递归效用（Epstein-Zin）和罕见灾难等扩展模型。
  4. 公共政策与成本-收益分析：在不确定性下的社会贴现率设定和气候经济学（如 Stern Review）中，RRA 参数 γ\gamma 的选择对政策结论极为敏感——γ\gamma 从 1 变为 3 可使最优碳税翻倍。

局限性与前沿讨论

阿罗-普拉特框架的局限包括：其一，它完全建立在期望效用理论之上，无法兼容前景理论（Kahneman \& Tversky, 1979）所揭示的损失厌恶、概率加权和参考点依赖等行为规律；其二，它假定风险厌恶仅由效用曲率刻画，忽略了模糊厌恶（ambiguity aversion, Ellsberg 悖论）等独立于曲率的不确定性态度；其三，经验估计中，ARA 和 RRA 的测量对实验设计高度敏感，跨研究一致性有限。

尽管如此，阿罗-普拉特系数仍是经济学中应用最广泛、理论上最自洽的风险态度度量工具。它用一个简洁而深刻的数学表达式，将人类对不确定性的主观态度形式化，从而使风险态度成为可比较、可校准、可纳入模型系统的核心参数，为不确定性下的个体决策、市场均衡分析、机制设计和政策评估提供了不可替代的量化语言。