Beta分布

Beta分布 (Beta Distribution)

Beta分布（Beta Distribution）是概率论与统计学中一类定义在区间$(0, 1)$上的连续概率分布族。它由两个正值参数$\alpha$和$\beta$决定，这两个参数控制了分布的形状。由于定义域限定在$(0, 1)$之间，Beta分布常被用于模拟概率或比例的随机变量。在贝叶斯统计中Beta分布占据核心地位，因为它是二项分布和伯努利分布的共轭先验——如果先验分布是Beta分布且似然函数是二项分布，那么后验分布仍然是Beta分布。

统计特征与分布形态

Beta分布的概率密度函数（PDF）为$f(x; \alpha, \beta) = x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}/B(\alpha, \beta)$，其中$B(\alpha, \beta) = \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta)$为Beta函数，作为归一化常数确保PDF积分为1。累积分布函数通过正则化不完全Beta函数表示：$F(x; \alpha, \beta) = I_x(\alpha, \beta)$。

期望值由两参数比率决定——$E[X] = \alpha/(\alpha+\beta)$。直观理解为：若$\alpha$代表"成功"的虚拟计数、$\beta$代表"失败"的虚拟计数，则期望值即为成功比例。方差为$Var(X) = \alpha\beta/[(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)]$，当$\alpha+\beta$很大时方差趋近于0——表示大量证据下对概率的估计会非常确定。当$\alpha > 1$且$\beta > 1$时分布呈单峰形，众数为$(\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)$。

分布形态随参数变化：$\alpha=\beta$时对称且关于0.5对称；$\alpha=\beta=1$时退化为均匀分布；$\alpha > \beta$时左偏（概率集中在高值区）；$\alpha < \beta$时右偏。$\alpha, \beta$同时增大使分布更集中（方差减小）。

贝叶斯应用与推导

Beta分布在贝叶斯推断中的核心优势在于共轭性质。考虑先验$X \sim Beta(\alpha, \beta)$，观测到$n$次试验中$s$次成功和$f$次失败，似然为$\propto x^s (1-x)^f$。后验分布为$Beta(\alpha+s, \beta+f)$——这一极其简便的更新规则使Beta分布成为比例模型的不二之选。从参数的角度看，初始先验的$\alpha$和$\beta$可理解为"先验伪计数"——在贝叶斯分析开始前我们认为已经观察到了$\alpha-1$次成功和$\beta-1$次失败。每观察到一次成功就将$\alpha$加1，观察到一次失败就将$\beta$加1。后验期望为$E[X|s,f] = (\alpha+s)/(\alpha+\beta+n)$，是最大似然估计$s/n$和先验期望$\alpha/(\alpha+\beta)$的加权平均——权重分别由样本量$n$和先验强度$\alpha+\beta$决定。Beta分布在A/B测试、质量控制和机器学习中的汤普森抽样等领域有广泛应用。