Fisher引理

Fisher引理 (Fisher's Lemma)

Fisher引理→数理统计基石→处理正态分布样本→Fisher爵士→揭正态总体随机样本的样本均值与样本方差统计独立→非正态不成立→t检验/置信区间理论基。若$X_1,\dots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)$i.i.d.→$\bar{X}=n^{-1}\sum X_i$，$S^2=(n-1)^{-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$→两核：①$\bar{X}$与$S^2$独立；②$(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$。

直观理解与证明思路

直觉反：从计看→$S^2$含$\bar{X}$→似$\bar{X}$大应影$S^2$分→然正态下此错误→位信息(中心在哪)与散度信息(相对中心散布)统独立→正态"神奇"特→大多他分布不成立。重要：允许均值推断与方差推断分离→构t统计量基石→因t量正将服从正态(涉$\bar{X}$)与服从卡方(涉$S^2$)变量结合→独立性推t分布关前提。

证思路：①向量空间→视$X_1,\dots,X_n$为n维欧空间$\mathbb{R}^n$随向→独正态联密具球对称。②投影分解→样均值=($\bar{X},\dots,\bar{X}$)=随机向在(1,…,1)子空间投影→样离差=$\mathbf{X}$在与前子空间正交的超平面(n-1维)投影。③正交独立→球对称随向→任两正交子空间投影相互独立→因$\bar{X}$与$S^2$分别由正主子空间投影决→独立。

应用与独特性

t分布与t检验：未总方差$\sigma^2$→用样标准差S估σ→检验$\mu_0$：$T=(\bar{X}-\mu_0)/(S/\sqrt{n})$→分子$\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$与分母涉$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$独立→Fisher引理保证→否t检验失理据。均值置信区间：未$\sigma^2$时$\bar{X}\pm t_{\alpha/2,n-1}S/\sqrt{n}$有效性全赖Fisher引理。ANOVA→Cochran定理推广→组间组内变平方和独立卡方→构F检验基。

正态独特：对非正态总不成→如均匀$U[0,\theta]$→极$\bar{X}$大→样点集近θ端→$S^2$相对小→$\bar{X}$与$S^2$明显相关。Fisher引理也可作正态性检验理论出发点。