Jensen不等式

Jensen不等式 (Jensen's Inequality)

Jensen不等式→分析数学/概率论/统计基础定理→描凸函数期望运算：$f(E[X])\le E[f(X)]$→凹函数反向。经济(风险/效用/微观)/金融(资产定价)/信息论/ML(EM算法)广泛应用。丹麦J.Jensen名。

凸凹函数与形式

凸函数：$\forall x_1,x_2,\lambda\in[0,1]$→$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$→割线在图像上方→二阶可微等价$f''(x)\ge0$（海森矩阵非负）。常见凸：$x^2,e^x,-\log x$。凹函数：$-f$凸→不等式反向→常见凹：$\log x,\sqrt{x}$→经济效用函数常凹→边际效用递减。

离散形式：非负权重$\lambda_i$（$\sum\lambda_i=1$）→$f(\sum\lambda_i x_i)\le\sum\lambda_i f(x_i)$。概率形式：$f(E[X])\le E[f(X)]$→连续$f(\int xpdx)\le\int f(x)pdx$。

经济金融应用

期望效用理论：冯诺依曼-摩根斯坦框架→风险厌恶对应凹效用($u''<0$)→$E[u(W)]<u(E[W])$→不确定财富期望效用<确定等额效用→愿付风险溢价消不确定性→保险市场存在根因。

资产定价/期权：看涨价值$V(S)=\max(S-K,0)$是标的S的凸函数→$E[\max(S-K,0)]\ge\max(E[S]-K,0)$→期权期望价值$\ge$标的期望价下的内在价值→波动率越高凸性收益越大→期权价越高。

统计与信息论

KL散度非负证：$D_{KL}(P\|Q)\ge0$→核步倚Jensen→用$f(x)=-\log x$严格凸→$-D_{KL}=\sum p\log(q/p)\le\log(\sum p·q/p)=\log1=0$→吉布斯不等式。

EM算法：含隐变量（高斯混合）→直MLE难→Jensen构下界ELBO→$\log$凹函数→$\log E_q[p(x,z)/q(z)]\ge E_q[\log p(x,z)/q(z)]$→优化下界逼近最大似然。

记忆：方差法→$f(x)=x^2$→$E[X^2]-(E[X])^2=\mathrm{Var}(X)\ge0$→$E[X^2]\ge(E[X])^2$→验证凸函数期望函数值$\ge$函数期望值。核心：凸→"平均后函数值$\le$函数值平均后"；凹→反向。