Wilcoxon符号秩检验

威尔科克森符号秩检验 (Wilcoxon Signed-Rank Test)

威尔科克森符号秩检验 (Wilcoxon Signed-Rank Test) 是一种重要的非参数统计方法，用于检验单一总体的中位数是否等于某个特定值，或更常见地，比较两组成对或匹配样本的中位数是否存在显著差异。它被认为是配对t检验的非参数对应物，当配对差异数据不满足正态分布假设时尤为适用。

该检验由 Frank Wilcoxon 于 1945 年提出，其核心巧妙之处在于：它不仅考虑差异值的符号（正或负），还通过对其绝对值排序来兼顾差异的相对大小（即秩），因此比仅考虑符号的符号检验具有更高的统计功效。

原理与适用条件

核心思想：若原假设 $H_0$ 成立（配对差异的中位数为零），则正差异的秩和与负差异的秩和应大致相等。

适用条件：

1. 数据配对：样本必须成对——来自重复测量（前后测设计）、匹配对，或单样本与已知中位数的比较。
2. 测量尺度：至少为有序尺度，但通常为等距尺度或等比尺度以便计算差异。
3. 差异的对称分布：不要求正态分布，但差异值须在其中位数周围对称分布。
4. 独立性：各数据对之间相互独立。

检验步骤

设有 $n$ 对样本 $(X_i, Y_i)$：

1. 计算差异：$D_i = X_i - Y_i$（单样本时为 $D_i = X_i - M_0$）。
2. 处理零差异和结：剔除所有 $D_i = 0$ 的对并更新 $n$；绝对值相同的差异分配平均秩次。
3. 排序：对非零 $|D_i|$ 从小到大排序，分配秩 $R_i$。
4. 附加符号：将 $D_i$ 的符号赋予 $R_i$，得带符号秩。
5. 计算统计量：记正秩和为 $W^+$，负秩绝对值之和为 $W^-$。检验统计量 $W = \min(W^+, W^-)$。

自检公式：$W^+ + W^- = n(n+1)/2$。

假设检验与决策

假设设立：$H_0$ 为配对差异的中位数为 0；$H_1$ 为双尾时中位数不为 0，单尾时中位数小于或大于 0。

决策规则：

• 小样本 ($n \le 30$)：将 $W$ 与 Wilcoxon 符号秩检验临界值表中的 $W_{\text{crit}}$ 比较。若 $W \le W_{\text{crit}}$，拒绝 $H_0$。
• 大样本 ($n > 30$)：$W$ 近似服从正态分布，均值 $\mu_W = n(n+1)/4$，标准差 $\sigma_W = \sqrt{n(n+1)(2n+1)/24}$。使用连续性校正计算 $Z$ 统计量后与标准正态临界值比较或直接计算p值。

示例

检验新药是否降低收缩压，8 位患者数据（服药前/后及差异 $D$）：145/135/10，152/148/4，160/162/-2，138/130/8，148/141/7，155/155/0，163/150/13，149/142/7。

剔除零差异（患者 6），$n=7$。绝对差异排序：2, 4, 7, 7, 8, 10, 13。秩次（处理结）：1, 2, 3.5, 3.5, 5, 6, 7。$W^+ = 27$，$W^- = 1$，$W = 1$。验证：$27+1=28$，$7 \times 8 / 2 = 28$。

$\alpha=0.05$ 双尾，查表得 $W_{\text{crit}}=2$。因 $W=1 < 2$，拒绝 $H_0$：该药物对降低收缩压有显著效果。

与其他检验的比较

• 与配对t检验：若差异确服从正态分布，t 检验功效更高；若严重偏离正态或存在异常值，Wilcoxon 检验更稳健。
• 与符号检验：符号检验只关心方向而忽略大小。Wilcoxon 利用秩次纳入了更多信息，通常统计功效更高。
• 与曼-惠特尼U检验：Wilcoxon 符号秩检验用于配对或相关样本；曼-惠特尼 U 检验用于两个独立非配对样本。须根据实验设计选择正确方法。