仿射函数

仿射函数 (Affine Function)

仿射函数是形如 $f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$ 的映射，其中 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 为线性变换矩阵，$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ 为平移向量（截距）。在一维情形下简化为 $f(x) = ax + b$。仿射函数是线性函数的平移推广——线性函数要求齐次性 $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ 和可加性 $f(x+y) = f(x) + f(y)$，从而必然满足 $f(0) = 0$；而仿射函数允许非零截距，仅保持仿射组合。这一区别在经济学的几乎每一个应用维度中都至关重要，因为经济变量之间的关系极少恰好通过原点。

数学定义与核心性质

令 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$，$\lambda \in \mathbb{R}$。仿射函数的定义性质是保持仿射组合（Affine Combination）：

这等价于：存在唯一的线性映射 $L$ 和常向量 $\mathbf{b}$，使 $f(\mathbf{x}) = L(\mathbf{x}) + \mathbf{b}$。当 $\mathbf{b} = \mathbf{0}$ 时退化为线性函数。仿射函数同时保持凸组合（$\lambda \in [0,1]$），因此既是凸函数又是凹函数——这是其关键性质：仿射函数是唯一同时为凸和凹的函数类。这使其成为凸优化中唯一允许出现的等式约束形式（$h_j(\mathbf{x}) = \mathbf{a}_j^T \mathbf{x} - b_j = 0$）。

仿射函数的运算封闭性：仿射函数的复合仍是仿射函数——若 $g(\mathbf{y}) = C\mathbf{y} + \mathbf{d}$，则 $(g \circ f)(\mathbf{x}) = CA\mathbf{x} + (C\mathbf{b} + \mathbf{d})$。仿射函数在正标量乘法下亦保持闭合。这些代数性质使仿射函数构成一个仿射空间（Affine Space），区别于线性空间需满足的封闭性要求。

仿射函数与仿射变换紧密相关：仿射变换将凸集映射为凸集，并将凸集的原像保持为凸集。这一保凸性（Convexity-Preserving）使仿射函数在凸分析和运筹学中扮演结构性角色。

经济学中的应用

线性预算约束与可行集

消费者理论中，预算约束 $p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n \leq m$ 是仿射函数 $g(\mathbf{x}) = \mathbf{p}^T \mathbf{x} - m$ 的零下水平集。预算线 $\mathbf{p}^T \mathbf{x} = m$ 是一仿射超平面（Affine Hyperplane），它不是线性子空间而是线性子空间的平移。消费者可行集——预算集——正是该仿射超平面与第一象限的交集，其凸性直接源于仿射函数的保凸性。当引入禀赋（Endowment）$\boldsymbol{\omega}$ 时，预算约束变为 $\mathbf{p}^T(\mathbf{x} - \boldsymbol{\omega}) = 0$，其仿射结构不变但截距项内化于禀赋价值。

成本函数与生产技术

线性生产技术的成本函数可写为仿射形式 $C(q) = F + cq$，其中固定成本 $F$ 体现了仿射函数区别于线性函数的本质——即使产量为零，成本非零。这种"线性内核 + 常数偏移"的结构在以下经济场景中反复出现：两部定价（Two-Part Tariff）中消费者支付 $T(q) = A + pq$；线性合同中代理人报酬 $w = \alpha + \beta \cdot y$（固定工资加绩效提成）；以及税收函数中 $T(y) = -\tau_0 + \tau y$（负所得税/基本收入方案）。在这些应用中，仿射结构中的截距项承载了独立于数量/努力的制度性转移支付。

期望效用与风险偏好

期望效用理论中，冯·诺依曼-摩根斯坦（vNM）效用函数对正仿射变换具有不变性：若 $u(\cdot)$ 表示决策者的风险偏好，则 $\tilde{u}(\cdot) = a u(\cdot) + b$（$a > 0$）代表完全相同的偏好排序。这一性质是基数效用的核心特征——效用的零点与单位可任意选择，但边际替代率与风险态度（由阿罗-普拉特风险厌恶系数 $r_A(w) = -u''(w)/u'(w)$ 度量）在仿射变换下严格不变。正是仿射变换不变性赋予了预期效用理论的经验内容：对不同决策者的效用比较需在同一仿射等价类内进行。

仿射期限结构模型

在金融经济学中，仿射期限结构模型（Affine Term Structure Model, ATSM）是利率建模的基准框架。其核心假设是：零息债券收益率 $y_t^{(n)}$（$n$ 期到期）是潜在状态向量 $\mathbf{X}_t$ 的仿射函数：

其中系数 $A_n$ 和 $\mathbf{B}_n$ 由无套利条件与随机贴现因子的动力学递推确定。ATSM 的仿射结构保证了债券价格的对数-状态仿射性，这使得似然函数评估与卡尔曼滤波估计在计算上可行。经典特例包括 Vasicek模型和 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 模型，它们的一因子仿射结构至今仍是中央银行利率分析和固定收益衍生品定价的工业标准。

计量经济学：线性回归与固定效应

线性回归模型 $\mathbf{y} = X\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}$ 中的条件期望 $\mathbb{E}[\mathbf{y} \mid X] = X\boldsymbol{\beta}$ 是回归元的仿射函数（当包含截距项时）。面板数据中的固定效应模型 $y_{it} = \alpha_i + \mathbf{x}_{it}^T\boldsymbol{\beta} + \varepsilon_{it}$ 将个体异质性 $\alpha_i$ 建模为仿射结构中的平移项——每个截面单元拥有自己的截距但共享斜率系数。这种"共同线性结构 + 个体截距"的仿射分解是面板计量经济学最基本的设计模式。

仿射与线性的区分：为什么重要

仿射函数与线性函数的混淆是常见的概念错误。线性函数必须满足 $f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)$——即同时满足齐次性与可加性；仿射函数仅保持"加权平均"结构。在经济学中，大多数看似线性的关系实为仿射：消费函数 $C = C_0 + cY$（自发性消费 $C_0 \neq 0$）、菲利普斯曲线 $\pi = \pi^e - \beta(u - u_n)$、货币数量方程 $MV = PY$ 的对数形式——无一例外地包含独立于核心变量的截距项。认识到仿射与线性的差异，有助于正确理解边际效应（由斜率给出）与水平效应（由截距给出）在比较静态分析中的不同角色。