广义积分

广义积分 (Improper Integral)

广义积分（Improper Integral），也称反常积分，是对定积分（Riemann积分）概念的拓展，用于处理积分区间无限或被积函数在积分区间内无界的情形。标准定积分要求积分区间 $[a,b]$ 为有限闭区间且被积函数在其上有界，而广义积分通过极限过程突破这两个限制，在数学分析、概率论和数理统计中均有广泛应用。

定义与分类

广义积分分为两类，分别对应于区间无界和被积函数无界两种情形。

第一类：无穷区间上的积分

设函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上有定义且在任意有限区间 $[a, t]$ 上可积。若极限

存在且有限，则称广义积分 $\int_a^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛，其值即该极限值；否则称积分发散。类似可定义 $\int_{-\infty}^b f(x)\,dx$ 和 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx$。

第二类：无界函数的积分

设 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上有定义且在任意 $[a, t] \subset [a, b)$ 上可积，但 $x \to b^-$ 时 $f(x)$ 无界（$b$ 为瑕点）。若极限

存在且有限，则称广义积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 收敛。区间内部存在瑕点或多瑕点的情形可类似拆解处理。

收敛性判别法

广义积分的核心问题是判断收敛性。常用判别法包括：

• 比较判别法：若 $0 \le f(x) \le g(x)$ 且 $\int g$ 收敛，则 $\int f$ 收敛；若 $f(x) \ge g(x) \ge 0$ 且 $\int g$ 发散，则 $\int f$ 发散。
• 极限比较判别法：若 $\lim_{x \to +\infty} f(x)/g(x) = c$（$0 < c < +\infty$），则 $\int f$ 与 $\int g$ 同敛散。
• p-积分：$\int_1^{+\infty} 1/x^p\,dx$ 当 $p > 1$ 收敛、$p \le 1$ 发散；$\int_0^1 1/x^p\,dx$ 当 $p < 1$ 收敛、$p \ge 1$ 发散，两类p-积分构成比较判别法的基准。
• 绝对收敛：若 $\int |f(x)|\,dx$ 收敛，则 $\int f(x)\,dx$ 收敛。绝对收敛蕴含条件收敛，是判断含变号函数积分的最强充分条件。

在概率论与统计中的应用

广义积分在概率论中具有基础地位。连续型随机变量的概率密度函数 $f(x)$ 满足 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$，其期望 $\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$ 和方差 $\operatorname{Var}(X) = \int (x-\mu)^2 f(x)\,dx$ 均为广义积分。部分重要分布（如Cauchy分布）的期望广义积分发散，这是其不具备矩的根本原因。伽玛函数 $\Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx$ 作为广义积分，是伽玛分布和贝塔分布中归一化常数的来源。在矩母函数的定义 $M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}]$ 中，该广义积分是否收敛决定了矩母函数的存在域，进而影响大样本理论中渐近性质的推导。广义积分的收敛判别为概率模型中诸多理论结果提供了分析基础。