期望效用

期望效用理论 (Expected Utility Theory)

期望效用理论是决策论、经济学和金融学中描述不确定性下选择的模型。由丹尼尔·伯努利（1738年，解决圣彼得堡悖论）提出，由约翰·冯·诺伊曼和奥斯卡·摩根斯坦公理化。

核心思想：效用而非价值

理性决策者最大化的是效用的期望值，而非货币期望值。因边际效用递减，500K美元→1M美元的效用增量小于0→500K，确定性选项更受偏好。

数学表述：彩票 $L = \{(p_1, x_1), \dots, (p_n, x_n)\}$ 的期望效用为 $E[u(L)] = \sum p_i u(x_i)$（连续情况为 $\int u(x)f(x)dx$）。决策者选择期望效用最大的选项。

圣彼得堡悖论

投硬币直到首次正面，第$k$次出现则获 $2^{k-1}$美元。期望货币价 $= \sum (1/2)^k \cdot 2^{k-1} = \infty$，但人们只愿付小额。伯努利提出以对数效用 $u(x)=\ln(x)$ 替代，使期望效用收敛至有限值 $\ln(2)$。

冯·诺伊曼-摩根斯坦公理

若偏好满足四条公理则行为与最大化期望效用等价：完备性（任意两彩票可比）、传递性（$A \succ B \succ C$则$A \succ C$）、连续性（不存在无穷跳跃）、独立性（与不相关第三选项混合不应改变偏好顺序）。导出的冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数是基数效用，唯一性限于正线性变换 $v(x) = a \cdot u(x) + b$（$a > 0$）。

效用函数的形状与风险态度

• 风险规避：$u''(x) < 0$，凹函数。$u(E[X]) > E[u(X)]$。大多数人的典型行为
• 风险中性：$u''(x) = 0$，线性函数。只关心期望回报
• 风险偏好：$u''(x) > 0$，凸函数。$u(E[X]) < E[u(X)]$

确定性等价物(CE)：$u(\mathrm{CE}) = E[u(L)]$。风险溢价：$\mathrm{RP} = E[L] - \mathrm{CE}$，风险规避者为正。

应用与批评

应用：现代微观经济学、资本资产定价模型(CAPM)、保险、投资组合选择的理论基石。

批评与局限：作为描述性模型面临的挑战——阿莱悖论（系统违反独立性公理）、埃尔斯伯格悖论（规避模糊性/概率未知）。前景理论（丹尼尔·卡尼曼和阿摩司·特沃斯基）引入参考点依赖、损失规避和概率权重函数，更好解释经验异象。