条件期望

条件期望 (Conditional Expectation)

条件期望是概率论和数理统计的核心概念：随机变量在给定某些信息或事件下的平均值或"最佳猜测"。是现代理性预期和有效市场假说的基石。

多层次定义

基于事件：$E[X \mid A] = \sum x P(X=x \mid A)$（离散）或 $\int x f_{X|A}(x)dx$（连续）。例：掷骰子已知偶数，$E[X \mid \{2,4,6\}] = 4 > 3.5 = E[X]$。

基于随机变量：$E[X \mid Y=y]$ 是关于 $y$ 的函数 $g(y)$。掷两枚骰子，若 $Y$ 为第一枚点数，则 $E[X \mid Y] = Y + 3.5$（一个随机变量）。

测度论定义：设 $\mathcal{G}$ 为概率空间的子sigma-代数（信息集合）。$E[X \mid \mathcal{G}]$ 是满足可测性（$Z$ $\mathcal{G}$-可测）和部分平均性质（$\int_A Z dP = \int_A X dP$ 对所有 $A \in \mathcal{G}$）的唯一随机变量。

重要性质

线性、拿出已知项（若 $Z$ $\mathcal{G}$-可测则 $E[ZX \mid \mathcal{G}] = Z E[X \mid \mathcal{G}]$）、全期望定律（$E[E[X \mid \mathcal{G}]] = E[X]$）、幂等性、独立性下为无条件期望、条件Jensen不等式。

几何解释与最佳预测

在$L^2$Hilbert空间中，$E[X \mid \mathcal{G}]$ 是 $X$ 在所有 $\mathcal{G}$-可测平方可积随机变量上的正交投影——从而是最小均方误差意义下的最佳预测：$E[X \mid \mathcal{G}] = \arg\min_Z E[(X-Z)^2]$。这是回归分析的理论基础。

经济与金融应用

理性预期假说：$\pi^e_{t+1} = E[\pi_{t+1} \mid \mathcal{I}_t]$。资产定价：$P_t = E[(D_{t+1} + P_{t+1})/(1+r_t) \mid \mathcal{I}_t]$（鞅和有效市场假说出发点）。计量经济学：回归核心假设 $E[\epsilon \mid X] = 0$，则 $E[Y \mid X] = \beta_0 + \beta_1 X$——回归即对条件期望函数的估计。