连续映射定理

连续映射定理 (Continuous Mapping Theorem)

连续映射定理是概率论和数理统计中基础且极其强大的工具性结果，揭示随机变量序列的收敛性在连续函数变换下具有的稳定性。若一列随机变量或随机向量以某种方式收敛于某极限，则经过连续函数变换后以相同方式收敛于该极限经同一函数变换的结果。该性质为推导统计量的渐近分布、证明估计量的相合性和建立各类极限定理的推广形式提供了简洁而严格的理论基石。

三种收敛模式下的陈述

依概率收敛的情形为：若 $X_n \xrightarrow{p} X$（依概率收敛）且 $g$ 为在X取值集中连续的函数，则 $g(X_n) \xrightarrow{p} g(X)$。应用示例为，样本均值 $\bar{X}_n \xrightarrow{p} \mu$，取 $g(t) = t^2$ 连续，则 $\bar{X}_n^2 \xrightarrow{p} \mu^2$，平方后估计量仍相合，这极大便利了统计量的相合性证明。

几乎必然收敛的情形为：若 $X_n \xrightarrow{a.s.} X$ 且 $g$ 连续，则 $g(X_n) \xrightarrow{a.s.} g(X)$。更强的收敛模式下结论也更强。依分布收敛的情形为：若 $X_n \xrightarrow{d} X$ 且 $g$ 在支撑集上几乎处处连续，则 $g(X_n) \xrightarrow{d} g(X)$。此形式在推导非线性统计量的渐近分布中尤为关键，可由已知的渐近正态性推导非平凡函数的渐近分布。

在计量经济学中的应用

该定理在Delta方法中扮演核心角色。标准形式为 $\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, V)$，对连续可微函数 $g$，有 $\sqrt{n}(g(\hat{\theta}_n) - g(\theta)) \xrightarrow{d} N(0, g'(\theta)^2 V)$。Delta方法实质为连续映射定理（依分布收敛）加上一阶泰勒展开，将渐近正态性从参数本身延伸到任意光滑函数，极大减少了独立推导的需要，仅需 $g$ 的导数和原始渐近方差即可。在渐近理论中，Slutsky定理为连续映射定理关于乘积和比函数的特例。连续映射定理的简洁性和普遍性，使其成为统计渐近理论推导中的通用桥梁，连接分布极限与函数变换，是计量经济学和统计学所有渐近理论中的公用核心工具。