CRRA

CRRA（常相对风险厌恶）

CRRA（Constant Relative Risk Aversion，常相对风险厌恶）是决策理论和金融经济学中描述风险态度的一种核心假设。它刻画的是这样一种偏好特征：决策者对风险的态度取决于风险相对于其财富或消费水平的比例，而非绝对金额。当个体的财富水平增长时，其愿意以固定比例而非固定金额的财富去承担风险，这种性质即是相对风险厌恶为常数的含义。CRRA假设是现代资产定价、宏观经济学和投资组合理论中最广泛使用的风险偏好设定之一，与之相对应的是CARA（常绝对风险厌恶）假设。

定义与内涵

相对风险厌恶的概念建立在阿罗-普拉特风险厌恶度量框架之上。对于一个定义在消费（或财富）水平 $c$ 上的二次可微效用函数 $u(c)$，相对风险厌恶系数定义为：

若 $R(c)$ 对所有 $c > 0$ 均为常数 $\gamma$，则该偏好属于CRRA族。这一系数的经济含义是：决策者愿意将总财富的某一固定比例投入风险资产，该比例不随财富水平的变化而变化。例如，一个CRRA投资者无论拥有10万元还是1000万元，都会将相同比例（如20\%）的财富投资于股票。

CRRA的核心直觉在于它体现了尺度不变性（Scale Invariance）：如果将消费或财富乘以一个正常数，决策者面对的相对风险结构不发生改变。这一性质在经济学建模中至关重要——它使得模型可以自然地处理经济增长，因为随着经济体规模的扩张，决策者的行为模式在相对意义上保持不变。

与CARA的对比

CRRA与CARA（常绝对风险厌恶）是风险偏好谱系中最重要的两个极端。CARA假设决策者的绝对风险厌恶系数 $A(c) = -u''(c)/u'(c)$ 为常数，其对应的效用函数形式为负指数函数 $u(c) = -e^{-\alpha c}$。CARA偏好下，投资者投资的绝对金额（而非比例）不随财富变化——这意味着随着财富增长，其投资于风险资产的金额占财富的比例趋近于零。

这一差异在应用场景中具有深远影响。在资产定价中，CRRA假设允许股权溢价在长期经济增长中保持稳定，而CARA假设则会导致风险溢价随财富积累而趋近于零，这与历史数据不符。在拍卖理论和保险经济学中，CARA因其对背景财富的不敏感性和数学上的便利性（无需考虑财富效应）而更受青睐。在宏观经济学中，CRRA因其与平衡增长路径的兼容性而成为标准设定，而CARA则更多地用于部分均衡和微观应用。

从函数形式上看，CRRA和CARA都是HARA效用函数（双曲绝对风险厌恶）族的特例。HARA族的风险容忍度函数（风险厌恶系数的倒数）为消费的线性函数 $T(c) = 1/A(c) = a + bc$；其中 $b = 0$ 对应CARA，$a = 0$ 对应CRRA。

历史渊源与理论基础

相对风险厌恶的概念可追溯至约翰·冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯特恩（1944）建立的期望效用理论框架。肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow, 1965）和约翰·普拉特（John Pratt, 1964）分别独立推导出了衡量风险厌恶的公理化体系，定义了绝对和相对风险厌恶系数。阿罗在《风险承担理论论文集》（1971）中明确论证了为何常相对风险厌恶在直觉上比常绝对风险厌恶更为合理：随着个人财富的增长，他愿意承担的绝对风险金额应该增加，而比例应保持大致不变。

阿罗的理论直觉建立在这样的观察之上：一个拥有1000元的人不愿意用100元去赌（10\%的财富），但一个拥有100万元的人可能愿意用10万元去赌（仍是10\%的财富），但两者都不愿意用固定金额如10万元去赌——前者根本拿不出10万，后者则不会拿10\%的财富去冒与穷人相同比例的风险。这一论证使得CRRA成为规范性的基准假设。

然而，后续研究也指出了CRRA的局限。实验证据表明，当赌注金额极小时，个体的相对风险厌恶会接近零——这一现象被称为小赌注悖论（Rabbin, 2000）。马修·拉宾指出，如果一个决策者在所有财富水平下都拒绝一个小的公平赌局（如50\%概率赢11元、50\%概率输10元），那么根据CRRA假设的递推逻辑，该决策者也会拒绝一个几乎稳赢的大赌局（如50\%概率赢100万元、50\%概率输100元），这显然与真实行为不符。该悖论揭示了CRRA在小额风险与大额风险之间的不一致性，推动了前景理论和累积前景理论的发展。

实证证据

实证研究对CRRA假设的检验主要沿着三条路径展开。

实验经济学：实验室实验通过彩票选择任务估计个体的风险厌恶系数，通常发现 $\gamma$ 的中位数在0.5至1.5之间（Holt and Laury, 2002; Harrison et al., 2006）。然而，实验中的风险厌恶系数对赌注金额的大小较为敏感，且存在显著的个体异质性。

微观调查数据：基于家庭调查的消费和资产持有数据分析显示，典型家庭的风险厌恶系数 $\gamma$ 大致在2到5之间。Barsky et al.（1997）利用健康与退休调查（HRS）中的假设性问题，估计约20\%的受访者 $\gamma < 2$，30\%的受访者 $\gamma > 5$。此外，不同财富水平家庭的资产配置模式大体支持CRRA假设——富裕家庭与普通家庭在风险资产占总资产的比例上并无系统性差异。

宏观金融数据：利用资产收益率时序数据校准CRRA参数是金融经济学中最著名的难题之一。梅拉和普雷斯科特（Mehra and Prescott, 1985）在研究股权溢价之谜时指出，美国历史数据中股票相对于无风险债券的超额收益率（约6\%-7\%）要求CRRA系数高达到30-50才能解释，远高于微观证据支持的1-5。这一巨大缺口意味着要么CRRA模型本身存在严重局限，要么市场并非由代表性代理人的消费平滑逻辑支配。后续研究通过引入习惯形成（Habit Formation）、稀有灾难（Rare Disasters）和递归效用（Epstein-Zin Preferences）等拓展，试图缩小微观与宏观之间的参数估计差距。

主要应用领域

投资组合选择：默顿模型（Merton, 1969, 1971）证明，在连续时间框架下，CRRA投资者面对恒定投资机会集时的最优策略是将固定比例的财富投资于风险资产，该比例由 $\gamma$ 和风险资产的夏普比率决定：$\pi^* = \mu / (\gamma \sigma^2)$。这一简洁表达式是CRRA性质最直接的应用——最优比例不随财富水平变化，从而使得组合选择与消费决策可以分离。

资产定价：在消费资产定价模型（Consumption CAPM）中，CRRA偏好下的随机贴现因子为 $m_{t+1} = \beta (c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}$。资产的风险溢价由该资产收益率与消费增长率的协方差决定——与消费增长负相关的资产（即经济衰退时价值缩水的资产）需要提供更高的期望收益率以吸引投资者。卢卡斯树模型（Lucas, 1978）中，CRRA假设使均衡资产价格成为消费增长分布的矩生成函数。

宏观经济学：在拉姆齐-卡斯-库普曼斯增长模型中，CRRA效用是维持平衡增长路径的充分条件。消费的欧拉方程为 $\dot{c}/c = (r - \rho)/\gamma$，其中 $r$ 为实际利率，$\rho$ 为时间偏好率。该方程意味着，参数 $\gamma$ 既是风险厌恶系数，又是跨期替代弹性的倒数，从而将风险态度与跨期替代意愿捆绑在一起——这一捆绑在艾普斯坦-津恩递归效用中被解除。

公共政策：在成本效益分析和气候变化经济学中，CRRA参数的选择对贴现率的确定具有决定性影响。诺德豪斯（Nordhaus）和斯特恩（Stern）关于气候变化政策力度的分歧，在很大程度源于对 $\gamma$ 取值的不同主张——斯特恩设定的 $\gamma = 1$（对数效用，意味着对未来代际的福利折现较温和），而诺德豪斯采用的 $\gamma \approx 2-3$ 则赋予当代更高的权重，从而主张更渐进的气候政策。

CRRA作为风险偏好理论中最具影响力的基准模型，以其简洁的数学结构和深刻的经济直觉，在宏观经济、金融和公共政策等广泛领域发挥着不可替代的作用。尽管其局限性已被大量研究揭示，但正是围绕这些局限的理论创新推动了行为经济学和递归效用理论的繁荣发展。