CARA

CARA (Constant Absolute Risk Aversion)

CARA，即恒定绝对风险厌恶 (Constant Absolute Risk Aversion)，是微观经济学、特别是不确定性下的选择理论和金融学中的一个核心概念。它描述了一类特定的风险偏好：个体的风险厌恶程度不随财富水平的变化而改变。拥有CARA偏好的个体在面对给定绝对规模的赌局时，决策行为与初始财富无关。

数学定义与推导

CARA偏好通过效用函数 $U(W)$ 刻画，衡量标准是阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数 (Arrow-Pratt measure, ARA)：

其中 $U'(W) > 0$ 为边际效用，$U''(W) < 0$ 表示边际效用递减（风险厌恶）。当 $A(W)$ 为常数 $\alpha > 0$ 时，即具有CARA特性。求解微分方程 $-U''/U' = \alpha$ 得到标准指数效用函数：

任何形式为 $U(W) = a - b e^{-\alpha W}$（$b>0, \alpha>0$）的效用函数均具有CARA特性。

核心经济学性质

1. 财富无关性：CARA决策者是否接受给定绝对收益/损失的赌局，与其当前财富水平无关。无论贫富，对"赢或输100元"的态度完全相同。
2. 恒定的风险溢价：风险溢价 $\pi$ 是为规避风险愿支付的最大金额。对小风险 $\tilde{z}$（方差 $\sigma_z^2$），近似有： \[ \pi \approx \frac{1}{2} \sigma_z^2 \alpha \] 由于 $\alpha$ 为常数，风险溢价不随财富变化。
3. 资产配置含义：在资产组合选择中，CARA投资者将恒定绝对金额投入风险资产，不随总财富增加而增加。若财富10万时投资2万于股票，财富增至100万时仍只投2万——这在现实中被认为不合理。

数值示例

设 $U(W) = -e^{-0.01W}$（$\alpha = 0.01$），面临50\%赢100元、50\%输100元的公平赌局。

初始财富 $W_0 = 1000$ 时：

• 拒绝赌局的效用：$U(1000) = -e^{-10} \approx -0.0000454$
• 期望效用：$EU = 0.5U(1100) + 0.5U(900) \approx -0.0000701$
• $EU < U(1000)$，拒绝赌局；确定性等价物 $CE \approx 955.05$，风险溢价 $\pi \approx 44.95$

当财富增至 $W_0 = 10000$ 时，同样拒绝赌局，风险溢价约 $43.45$，基本不变，验证了CARA的核心性质。

与其他风险厌恶类型的比较

绝对风险厌恶的三种基本类型：

• CARA：$A'(W)=0$，绝对风险态度不随财富改变（指数效用函数）。
• DARA（递减绝对风险厌恶）：$A'(W)<0$，富人更愿意承担绝对风险（对数效用 $U(W)=\ln W$、幂函数 $U(W)=W^\gamma$），更符合现实。
• IARA（递增绝对风险厌恶）：$A'(W)>0$，罕见且反直觉。

另一相关概念是CRRA（恒定相对风险厌恶）：投资者将财富的固定比例投入风险资产，比CARA更具现实意义。

总结

CARA以其数学简洁性——指数效用函数——在经济和金融模型中扮演重要角色，尤其适用于财富变化非核心关注点的理论问题（如保险模型、委托代理理论）。但其"投资固定绝对金额于风险资产"的推论限制了描述长期资产配置的现实性，使得DARA和CRRA在许多应用中更受青睐。