极值

极值 (Extreme Values / Extrema)

极值 (Extreme Values 或 Extrema) 是 最优化 理论中最核心的概念之一，指一个函数在其定义域的某个子集上取得的最大值或最小值。在经济学中，极值问题是几乎所有最优化行为分析的基础——消费者在预算约束下追求 效用最大化，厂商在技术约束下追求 利润最大化 或 成本最小化，社会计划者追求 社会福利函数 的最大化——这些本质上都是极值问题。

定义与分类

设函数 $f: D \to \mathbb{R}$, $D \subseteq \mathbb{R}^n$。

• 全局极大值 (Global Maximum)：存在 $\mathbf{x}^* \in D$，使得对所有 $\mathbf{x} \in D$ 有 $f(\mathbf{x}^*) \ge f(\mathbf{x})$。类似定义 全局极小值 (Global Minimum)。
• 局部极大值 (Local Maximum)：存在 $\mathbf{x}^*$ 的某个邻域 $N(\mathbf{x}^*)$，使得对所有 $\mathbf{x} \in N(\mathbf{x}^*) \cap D$ 有 $f(\mathbf{x}^*) \ge f(\mathbf{x})$。
• 严格极值：上述不等式在 $\mathbf{x} \neq \mathbf{x}^*$ 时严格成立。

全局极值与局部极值统称为极值。全局极值必然是局部极值，但反之不真。在 凸优化 中，若目标函数为凸（或凹）且可行域为凸集，则任何局部极值自动成为全局极值，这是凸优化在经济学中广泛应用的关键性质。

无约束极值的一阶必要条件

对于可微的一元函数 $f(x)$，若 $x^*$ 为内点极值，则 $f'(x^*) = 0$。该点称为 驻点 (Stationary Point) 或 临界点 (Critical Point)。此即 Fermat 定理。

对于多元函数 $f(\mathbf{x})$，一阶必要条件为梯度向量为零：

驻点只是极值的候选点，非充分条件。例如 $f(x) = x^3$ 在 $x = 0$ 处导数为零，但该点是 鞍点 而非极值点。在多元函数中，鞍点 更为常见——某些方向为极大、另一些方向为极小。

二阶充分条件

一元函数：若 $f'(x^*) = 0$ 且 $f''(x^*) > 0$，则 $x^*$ 为严格局部极小值；若 $f''(x^*) < 0$，则为严格局部极大值。若 $f''(x^*) = 0$，需更高阶导数进一步判断。

多元函数涉及 Hesse矩阵 $\mathbf{H}(\mathbf{x}^*)$：

• 若 $\mathbf{H}$ 正定（$\mathbf{v}^T\mathbf{H}\mathbf{v} > 0, \forall \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$），则 $\mathbf{x}^*$ 为严格局部极小值。
• 若 $\mathbf{H}$ 负定，则为严格局部极大值。
• 若 $\mathbf{H}$ 不定，则 $\mathbf{x}^*$ 为鞍点。
• 若 $\mathbf{H}$ 半正定或半负定，需进一步分析。

约束极值与 Lagrange 方法

经济学中最常见的是受约束的极值问题。对于等式约束 $\max f(\mathbf{x})$ s.t. $g(\mathbf{x}) = c$，构造 拉格朗日函数：

一阶条件为 $\nabla_{\mathbf{x}}\mathcal{L} = \mathbf{0}$ 且 $g(\mathbf{x}) = c$。拉格朗日乘数 $\lambda$ 衡量约束松绑一单位对最优目标值的影响，即 影子价格。

对于不等式约束，需使用 KKT条件：在 约束规范 成立时，最优解满足互补松弛性、对偶可行性及原始可行性。

经济学应用

消费者理论：效用最大化 $\max U(x_1, x_2)$ s.t. $p_1x_1 + p_2x_2 = m$ 通过 Lagrange 方法得到 MRS = 价格比的内点极值条件。厂商理论：成本最小化 $\min w\mathbf{x}$ s.t. $F(\mathbf{x}) = q$ 的对偶与 利润最大化 构成生产理论核心。极值问题的二阶条件与 比较静态分析 密切相关——包络定理 允许在不重新求解完整极值问题的情况下直接计算参数变化对最优值的影响。