泰勒公式 (Taylor's Formula)
泰勒公式 →分析数学 核心工具→用多项式逼近光滑函数：f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + R n ( x ) f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x) f ( x ) = ∑ k = 0 n k ! f ( k ) ( a ) ( x − a ) k + R n ( x ) R n R_n R n 微观 /宏观 /计量 )/金融(资产定价 )/统计 无处不在：边际近似、DSGE对数线性化、Delta方法皆依赖之。英国Brook Taylor 1715年提出。
公式形式与余项
一维展开 ：f f f a a a n n n f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x) f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + 2 ! f ′′ ( a ) ( x − a ) 2 + ⋯ + n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n + R n ( x ) Maclaurin公式 ：a = 0 a=0 a = 0 f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( 0 ) k ! x k + R n ( x ) f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_n(x) f ( x ) = ∑ k = 0 n k ! f ( k ) ( 0 ) x k + R n ( x )
余项 ：Lagrange余项 →R n = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} R n = ( n + 1 )! f ( n + 1 ) ( ξ ) ( x − a ) n + 1 ξ \xi ξ a , x a,x a , x Peano余项 →R n = o ( ( x − a ) n ) R_n=o((x-a)^n) R n = o (( x − a ) n ) n n n 积分余项 ：R n = 1 n ! ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t R_n=\frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt R n = n ! 1 ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t
常见展开：e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + R n e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+R_n e x = 1 + x + 2 ! x 2 + ⋯ + R n ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ln ( 1 + x ) = x − 2 x 2 + 3 x 3 − ⋯ ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣ x ∣ < 1 ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots ( 1 + x ) α = 1 + αx + 2 ! α ( α − 1 ) x 2 + ⋯ 二项式级数 。
多元推广
多元一阶 ：f ( x ) ≈ f ( a ) + ∇ f ( a ) ⊤ ( x − a ) f(\mathbf{x})\approx f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a})^\top(\mathbf{x}-\mathbf{a}) f ( x ) ≈ f ( a ) + ∇ f ( a ) ⊤ ( x − a ) 梯度 方向导数。二阶 ：f ( x ) ≈ f ( a ) + ∇ f ⊤ ( x − a ) + 1 2 ( x − a ) ⊤ H ( a ) ( x − a ) f(\mathbf{x})\approx f(\mathbf{a})+\nabla f^\top(\mathbf{x}-\mathbf{a})+\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\top\mathbf{H}(\mathbf{a})(\mathbf{x}-\mathbf{a}) f ( x ) ≈ f ( a ) + ∇ f ⊤ ( x − a ) + 2 1 ( x − a ) ⊤ H ( a ) ( x − a ) 海森矩阵 H \mathbf{H} H 凸优化 分类驻点(KKT条件 )必需。
函数形式：f ( x ) = ∑ ∣ α ∣ ≤ n D α f ( a ) α ! ( x − a ) α + R n f(\mathbf{x})=\sum_{|\alpha|\le n}\frac{D^\alpha f(\mathbf{a})}{\alpha!}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha+R_n f ( x ) = ∑ ∣ α ∣ ≤ n α ! D α f ( a ) ( x − a ) α + R n α = ( α 1 , … , α p ) \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_p) α = ( α 1 , … , α p ) D α D^\alpha D α
经济学应用
边际分析→一阶近似 ：效用Δ U ≈ M U ⋅ Δ x \Delta U\approx MU\cdot\Delta x Δ U ≈ M U ⋅ Δ x Δ C ≈ M C ⋅ Δ q \Delta C\approx MC\cdot\Delta q Δ C ≈ MC ⋅ Δ q 包络定理 本质：值函数导数的一阶泰勒。
比较静态→二阶 ：一阶逼近力不足→二阶补足曲率→风险溢价：π ≈ − 1 2 u ′ ′ ( W ) u ′ ( W ) σ 2 \pi\approx-\frac{1}{2}\frac{u''(W)}{u'(W)}\sigma^2 π ≈ − 2 1 u ′ ( W ) u ′′ ( W ) σ 2 Arrow-Pratt近似 →绝对风险厌恶R A = − u ′ ′ / u ′ R_A=-u''/u' R A = − u ′′ / u ′
Delta方法 渐近理论 核心→对统计量T n T_n T n n ( T n − θ ) → d N ( 0 , Σ ) \sqrt{n}(T_n-\theta)\xrightarrow{d}N(0,\Sigma) n ( T n − θ ) d N ( 0 , Σ ) n ( g ( T n ) − g ( θ ) ) → d N ( 0 , g ′ ( θ ) 2 Σ ) \sqrt{n}(g(T_n)-g(\theta))\xrightarrow{d}N(0,g'(\theta)^2\Sigma) n ( g ( T n ) − g ( θ )) d N ( 0 , g ′ ( θ ) 2 Σ ) g ( T n ) ≈ g ( θ ) + g ′ ( θ ) ( T n − θ ) g(T_n)\approx g(\theta)+g'(\theta)(T_n-\theta) g ( T n ) ≈ g ( θ ) + g ′ ( θ ) ( T n − θ ) 标准误 变换/弹性推断。
DSGE对数线性化 ：宏观DNK /RBC 模型→非线性均衡条件难闭式→稳态附近对数泰勒展开→线性理性预期 差分系统→Blanchard-Kahn 求解→脉冲响应函数 。典型：e x t ≈ e x ˉ ( 1 + x ^ t ) e^{x_t}\approx e^{\bar{x}}(1+\hat{x}_t) e x t ≈ e x ˉ ( 1 + x ^ t ) x ^ t = ln ( x t / x ˉ ) \hat{x}_t=\ln(x_t/\bar{x}) x ^ t = ln ( x t / x ˉ )
确定性等价 ：期望效用→E [ u ( W ) ] ≈ u ( E [ W ] ) + u ′ ′ ( E [ W ] ) 2 V a r ( W ) E[u(W)]\approx u(E[W])+\frac{u''(E[W])}{2}\mathrm{Var}(W) E [ u ( W )] ≈ u ( E [ W ]) + 2 u ′′ ( E [ W ]) Var ( W ) u ′ ′ = 0 u''=0 u ′′ = 0 风险中性 ）。
收敛性与局限
解析函数 →泰勒级数全局收敛（e x , sin x , cos x e^x,\sin x,\cos x e x , sin x , cos x ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) f ( x ) = e − 1 / x 2 , f ( 0 ) = 0 f(x)=e^{-1/x^2},f(0)=0 f ( x ) = e − 1/ x 2 , f ( 0 ) = 0 平坦函数 。应用中有限阶逼近已足→关注余项可控性。
记忆 ：泰勒是"局部多项式近似"→一阶=切线、二阶=曲率→凸函数 （f ′ ′ ≥ 0 f''\ge0 f ′′ ≥ 0 Jensen不等式 f ( E [ X ] ) ≤ E [ f ( X ) ] f(E[X])\le E[f(X)] f ( E [ X ]) ≤ E [ f ( X )] n n n